Les matrices triangulaires

Nounouvch · August 2018

Pour la question i
f(Fk)=la somme variant de 1 jusqu'à k (alphaK).f(ek)
Est-ce qu'on a le droit de dire puisque la matrice est inversible f serait un isomorphisme donc un automorphisme pour prouver que f(ek)=ek ? 78628

Homo Topi · August 2018

Un automorphisme linéaire ne vérifie pas forcément $f(e_k) = e_k$ (que ce soit pour un seul $k$ ou pour tout $k$). Prends $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, $x \longmapsto 2x$ par exemple

Nounouvch · August 2018

Vous pouvez m'indiquer une piste ?

Nounouvch · August 2018

Est-ce que procéder par f(Fk)-Fk et essayer de prouver que cela vaut 0 parce que les (e1,...ek) ainsi que les (f(e1),...f(ek)) formeront une famille libre car A est inversible et donc les scalaires de 1 à k seront tous nuls ?

Homo Topi · August 2018

$f(F_k) - F_k$ ??? C'est quoi cet objet ?

Nounouvch · August 2018

Homo Topi
Euh..c'est ce qui est marqué dans l'exercice ? L'image de la base par l'endomorphisme ?

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Poirot · August 2018

Il suffit d'écrire ce qu'est une matrice triangulaire ! Tu peux commencer par montrer que $f(F_k) \subset F_k$ pour tout $k$, puis obtenir l'égalité en utilisant l'inversibilité de $A$ (donc de $f$).

Nounouvch · August 2018

Donc vouloir passer par une famille libre n'a aucun sens ?

Homo Topi · August 2018

L'image de la base $\mathcal{B}$ par $f$ serait notée $f(\mathcal{B})$. L'objet $f(F_k) - F_k$, je suis capable de lui donner une définition, mais ça ne sert à rien ici...

Pour en revenir à ton exercice : la matrice $A$ représente un endomorphisme $f$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1 , ..., e_n)$. On sait de plus qu'elle est triangulaire supérieure (et inversible).

As-tu une idée de comment se décompose $f(e_1)$ dans la base $\mathcal{B}$ ?

Homo Topi · August 2018

(une fois que tu auras décomposé $f(e_1)$, avec un peu d'astuce, tu comprendras comment décomposer $f(e_2)$ etc, et de proche en proche, en utilisant la linéarité de $f$, tu pourras montrer que $e_k \in f(F_k)$ pour tout $k$)

Nounouvch · August 2018

C'est juste pour la décomposition? 78636

Poirot · August 2018

Si la matrice $A$ est $(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ avec $a_{ij}=0$ pour $i > j$, que vaut $f(e_1)$ ? Et $f(e_2)$ ? Et $f(e_3)$ ? De manière général tu peux donner $f(e_k)$ pour n'importe quel $k$.

Homo Topi · August 2018

La matrice $A$ est triangulaire. Qu'est-ce que ça implique sur la décomposition de $f(e_1)$ dans la base $(e_1 , ... , e_n)$ ?

Nounouvch · August 2018

F(ek)=aij (i=j) +aij(i<j)

Poirot · August 2018

Ça n'a aucun sens ! Que sont $i$ et $j$ ici par rapport à $k$ ? Et puis $f(e_k)$ est censé être un vecteur, tu m'écris un scalaire !

Nounouvch · August 2018

Écoutez je sais fournir une décomposition du moins je croyais savoir..mais maintenant je ne sais plus quoi faire! Ce que j'ai écrit c'est l'écriture que je croise tout le temps i c'est le nombre de ligne et j celui de colonne ! Je sais bien que c'est un vecteur mais dans toutes les écritures d'endomorphismes c'était comme cela: la somme des coefficients fois celle de chaque élément de la base.

Homo Topi · August 2018

Il y a visiblement beaucoup de choses sur le calcul matriciel et le calcul de sommes que tu ne maîtrises pas du tout. Ce que tu écris n'a aucun sens et tu ne t'en rends pas compte. Tu essaies d'appliquer des formules que tu ne comprends pas et tu t'y prends très mal. Je te conseille de retravailler des bases d'algèbre avant de t'attaquer à cet exercice : calculs de sommes (et simplifications, et sommes doubles, et produit de deux sommes), additions de matrices, multiplication d'une matrice par un vecteur, produit de matrices. Si tu n'y arrives pas, tu peux toujours poser des questions sur ces choses-là sur le forum. En travaillant progressivement tu finiras par t'en sortir.

Il y a beaucoup de ressources en ligne pour comprendre comment écrire en LaTeX. Les formules que tu écris sont difficiles à lire puisque tu n'écris pas en LaTeX et comme en plus tu poses des questions trop vagues, c'est difficile de te répondre.

gebrane · August 2018

Un coup de pouce, on note $A=(a_{i,j})$, donc $f(e_k)=\sum_{i=1}^n a_{i,k}e_i=\sum_{i=1}^{\color{red}{\mathbf k}} a_{i,k}e_i\in Vect\,\{e_1,\ldots,e_k\}$