Endomorphisme de rang 1 et nilpotence

Rietveld · August 2018

Bonjour à tous,

je me remets peu à peu à refaire des mathématiques, notamment de l'algèbre.
Je lis quelques cours que l'on peut trouver sur la Wikiversité.
Et je bloque notamment sur la résolution de l'exercice 1 dans le chapitre "Réduction de Dunford, Jordan et Frobénius" : https://fr.wikiversity.org/wiki/Réduction_des_endomorphismes/Exercices/Réductions_de_Dunford,_Jordan_et_Frobenius

Il s'agit de "montrer qu'un endomorphisme de rang 1 est nilpotent ou diagonalisable".
Il me semble que cela doit être un exercice classique, cependant c'est sa solution proposée sur le site qui me pose problème.

Je ne comprends pas l'implication si x appartient à H, alors u² = 0.
Il y a quelque chose de peut-être futile qui m'échappe mais pour moi si x appartient à H, c'est qu'il appartient au noyau de u (qui est l'hyperplan H). Et donc cela serait u = 0, et non u².

Si x n'appartient pas à H, il n'y a pas de problème.

En vous remerciant par avance.

gerard0 · August 2018

Bonjour.

x n'est pas quelconque, et surtout, n'est pas nul. par contre, x=u(...) et x est dans le noyau.

Cordialement.

Rietveld · August 2018

Merci pour la réponse.

Comme x appartient à Im(u) (car sur la droite D), il existe un y tel que x = u(y).
Comme x est aussi dans Ker(u), u(x) = 0.
D'où u(x) = u²(y) = 0.

Mais cette égalité (u² = 0) n'est valable que pour cet y, et non pas pour tout autre élément de l'espace vectoriel ?

gerard0 · August 2018

Heu ... tu as encore oublié ce qu'est x ....

Rietveld · August 2018

x dirige la droite D et x est dans H. Donc D est incluse dans H.
Il y a malheureusement quelque chose qui m'échappe et qui m'empêche d'avancer.

GaBuZoMeu · August 2018

$x$ engendre $D=\mathrm{Im}(u)$.
Donc pour tout $y$ de l'espace vectoriel ... je te laisse dire des choses sur $u(y)$.

Rietveld · August 2018

Je crois avoir saisi le chaînon manquant.

Comme Im(u) est engendré par x, pour tout y de l'espace vectoriel, l'image de y s'écrit u(y) = a.x où a est une constante.
Ainsi u²(y) = a.u(x) (par linéarité de u) et donc u²(y) = 0 (car x appartient à Ker(u)), pour tout y de l'espace vectoriel.

Encore merci.

Etes-vous d'accord que l'implication dans la solution proposée sur Wikiversité "Si x dans H alors u² = 0" n'est pas aussi directe que la solution le laisserait penser ?

GaBuZoMeu · August 2018

Tout dépend du degré de familiarité avec l'algèbre linéaire. Peux-tu démontrer que, pour tout endomorphisme $u$,
$$u^2=0 \Longleftrightarrow \mathrm{im}(u)\subset \ker(u)\;.$$
Le cas $D\subset H$ relève de cette équivalence.

Rietveld · August 2018

Je reprends tout doucement contact avec les mathématiques du supérieur, après les avoir laissées pendant une quinzaine d'année.
Disons que je n'ai plus aucun réflexe intellectuel, et j'aimerais les acquérir progressivement.

Hier, j'ai justement démontré mentalement le sens direct de cette équivalence. Cela semble être un résultat "connu" mais pour moi c'était un exercice.

Et aujourd'hui, j'ai démontré l'équivalence avec votre aide.

Je pense qu'avoir du recul, en connaissant ces petits résultats, est d'une grande aide pour pouvoir réussir à faire des exercices.

Poincaré disait que la mathématique était l'art de donner le même nom à des choses différentes. Cet exercice illustre bien (pour moi) cet adage, derrière la notion de nilpotence dans cet exercice était caché ce résultat (qui fera partie de mon bagage maintenant si je venais à recroiser quelque chose de ce genre).

gebrane · August 2018

On peut faire mieux
$u^2=0 \Longleftrightarrow \mathrm{im}(u) = \ker(u) \ $
sauf un coup de soleil sur la tête

GaBuZoMeu · August 2018

Effectivement, gebrane, le soleil a tapé trop fort sur ta tête.
Range-toi à l'ombre !

Rietveld · August 2018

J'essayais de trouver un contre exemple.
Peut-être avec une matrice nilpotente d'ordre 2 ?

GaBuZoMeu · August 2018

Il y a un contre-exemple immédiat avec $u^2=0$ et $\mathrm{im}(u)$ différent de $\ker(u)$ (pourvu que la dimension de l'espace soit non nulle :-D).

gebrane · August 2018

J'ai fait aussi vite que j'ai pu, je suis à l'ombre . Trouble de vision

GaBuZoMeu · August 2018

Navigue moins sur internet et réfléchis plus !

Rietveld · August 2018

C'est toujours bon à savoir !

J'essayerais de faire cet exercice plus tard. C'est bien qu'il y ait une correction en vidéo. Ça me permettra d'abréger mes souffrances si je sèche trop.
Le contre exemple que j'avais essayé de trouver en fait n'en était pas un, c'est un exemple qui vérifie la propriété énoncée dans cette vidéo :-D

A =
(0 1)
(0 0) dont Ker A = Im A = (1 0) et on a bien 2 = 2*1 (n = 2*rg(A)).

(Je m'étais dit a posteriori que j'avais choisi comme par hasard un exemple qui ne me servait à rien).

gebrane · August 2018

@Gabu
Comment tu arrives à réfléchir avec cette chaleur ?

Rietveld · August 2018

C'est bon, j'ai réussi à faire l'exercice sans regarder la vidéo !

Vous avez réussi à me décoincer.
J'ai bien noté que dans la vidéo, on suppose que l'espace vectoriel est de dimension finie (ie théorème du rang utilisable) alors que l'énoncé que j'avais proposé est plus général.
Je me suis servi du fait que si deux espaces sont inclus l'un dans l'autre et qu'ils ont même dimensions, alors ils sont égaux.

Merci pour votre aide !

Si vous avez d'autres résultats simples sur la notion de nilpotence et/ou sur le rang, pour parfaire ma culture mathématiques, n'hésitez pas. ;-)

gerard0 · August 2018

Bonjour Rietveld.

"Je me suis servi du fait que si deux espaces sont inclus l'un dans l'autre et qu'ils ont même dimensions, alors ils sont égaux." Attention, ce n'est vrai qu'en dimension finie.

Cordialement.

gebrane · August 2018

@Rietveld
Peux-tu rédiger ta démonstration ( sans le théorème du rang) . Je n'arrive pas à réfléchir
Merci

Rietveld · August 2018

Je me suis peut-être mal exprimé.

J'ai bien travaillé en dimension finie et utilisé le théorème du rang.

Je disais simplement que l'assertion "u² = 0 équivaut à Im(u) inclus dans Ker(u)" était plus générale (pas de condition sur la dimension de l'espace vectoriel ambiant).

gebrane · August 2018

@Rietveld
Ok on va faire équipe pour résoudre cet exercice avec E de dimension infini , j'attend la fraîcheur de la nuit, la je me sens inutile

GaBuZoMeu · August 2018

Quel exercice ? Celui de la vidéo ? Il n'a pas de sens en dimension infinie !

gebrane · August 2018

Je (on) parle de ton exercice car tu ne précises pas si l'espace E est de dimension fini

GaBuZoMeu · August 2018

Il n'y a aucune hypothèse sur la dimension, et je pense que Rietveld l'a résolu dans le cadre général.
Tu peux le faire, c'est à peu près immédiat.

Rietveld · August 2018

Je pense que ce sujet peut être fermé, le problème est résolu.

gebrane · August 2018

@Gabu il n'a pas résolu ton exercice dans le cadre général vu ces paroles J'ai bien travaillé en dimension finie et utilisé le théorème du rang et il veut fermer le fil pour une raison que je ne sais pas. Moi je vais regarder ton exo la nuit

GaBuZoMeu · August 2018

Gebrane, il semble que le soleil atteigne aussi tes capacités de lecture. Il dit qu'il a travaillé en dimension finie pour l'exercice de la vidéo.
Il n'y a bien évidemment aucun besoin du théorème du rang pour l'équivalence que j'ai écrite (et qui est, je le répète, à peu près triviale).

Rietveld · August 2018

@gebrane : je parlais de ton exercice, celui que tu as proposé en vidéo, dont le résultat n'est valable qu'en dimension finie (et donc on peut utiliser tous les outils spécifiques au cadre de la dimension finie : théorème du rang, égalités d'ensembles dont on connait une inclusion et l'égalité des dimensions...).

gebrane · August 2018

Je prends congé de ce fil , tu as raison. je suis vraiment assommé

garci · August 2018

Rietveld écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1690680,1690722#msg-1690722

>[...] Poincaré disait que la mathématique était l'art de donner le même nom à des choses différentes.
> Cet exercice illustre bien (pour moi) cet adage, derrière la notion de nilpotence dans cet
> exercice était caché ce résultat (qui fera partie de mon bagage maintenant si je venais à
> recroiser quelque chose de ce genre).[...]

et il est très bon là dedans (sa méthode d'analyse aussi)
le fait de donner le "même nom" à différentes choses
c'est à dire de définir les "choses" de manière générique (des fonctionnements généralement on définit avec sa méthode d'analyse)

Endomorphisme de rang 1 et nilpotence

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