Déterminant d'une matrice triangulaire
Réponses
-
Par respect pour les participants du forum, écris de manière lisible tes questions. Pour ma part, je refuse d'essayer de lire un scan illisible mis ici pour ne pas avoir à se fatiguer à écrire proprement, et je suggère que tout le monde en fasse autant.
-
Existe-il un logiciel qui me permettra d'écrire facilement les formules mathématiques? Du coup,je n'aurais plus besoin de faire des scans.
-
Il y a LaTeX. Premiers pas ici.
Et même sans LaTeX, on peut écrire proprement, en français (comme quand on lit à haute voix un texte mathématique).
PS. Beaucoup de messages sur ce forum utilisent des codes LaTeX. Si tu veux voir le code LaTeX derrière une formule, tu amènes la souris sur la formule et tu fais un clic droit et tu vas dans Show Math As > TeX Commands. Tu peux alors copier-coller le code en le modifiant selon tes besoins. Par exemple, puisqu'on parle de déterminant, tu peux faire le clic droit sur :
$$\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n}$$
qui est donné par$$\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n}$$(ne pas oublier les dollars autour du code -deux dollars de chaque côté pour les formules centrées, un seul dollar de chaque côté pour les formules à l'intérieur du texte). -
Calculer un déterminant revient un peu à jouer au Sudoku.
Pour que ton déterminant soit non nul, il faut que tu évites les 0.
Edit : Par exemple, sur la 1ère colonne de ta matrice triangulaire supérieure, quel(s) élément(s) non nul(s) peux-tu choisir ? -
okay merci beaucoup!
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment obtenir cette formule en utilisant la formule fondamentale: det(A)det(com(A))= (detA)^n
merci -
Qu'appelles-tu formule fondamentale ? (Il y en a tellement en mathématiques).
Si c'est la formule reliant le calcul de l'inverse d'une matrice et sa comatrice, il suffit d'utiliser les propriétés du déterminant (en tant que forme n-linéaire alternée pour trouver le det(A)^n) et le fait que det(AB) = det(A)*det(B).
Edit : As-tu déjà vu cette formule ?
$ A\mathop{\mathrm{com}}(A)^{\sf T}=\det(A)\mathrm{I}_n $
(Au passage, merci @GaBuZoMeu de m'avoir donné par la même occasion une technique pour insérer du code $\LaTeX$ dans les commentaires ;-)). -
Oui donc je dois insérer le déterminant dans cette formule et utiliser ses propriétés?
-
Voilà, tu appliques le déterminant de part et d'autre de cette égalité (en utilisant les propriétés que je t'ai mentionnées ci dessus), et le tour est joué.
Sans oublier qu'une matrice et sa transposée ont le même déterminant. -
C'est bon! Merci beaucoup
-
Peut être je suis encore assommé mais je ne vois personne donner une preuve de la formule du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure en utilisant exclusivement la définition $\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n}$
A mon avis, il suffit de démontrer que si $\sigma\neq Id$ alors $\exists\,i$ tel que $\sigma(i)>i$ ( et par suite $a_{i\sigma(i)}=0$)Le 😄 Farceur -
Je pense que mon argument de jeu de Sudoku, en évitant les zéros lui a suffit pour reconstruire la démonstration. En commençant par la 1ère colonne de la matrice triangulaire supérieure.
Puis en s'attaquant à la deuxième colonne, puis la troisième...
Nécessairement, la seule permutation permettant de faire cela est l'identité. -
Cette preuve, on la connait en développent un déterminant par rapport à la première colonne. le but de la question était d'utiliser exclusivement la définition avec les permutationsLe 😄 Farceur
-
Cette preuve n'utilise pas le développement d'un déterminant selon les colonnes, mais reprend le scan de sa démonstration.
Cela explique pourquoi $\sigma(1)$ <= 1, puis $\sigma(1)$ = 1, puis $\sigma(2)$ = 2 etc.
De manière imagée, on se représente une grille de Sudoku. Dans la première colonne, le seul choix possible pour éviter les zéros, est de choisir a1,1.
(De façon imagée, on peut entourer a1,1 et barrer la ligne et la colonne qui le contient).
Dans la deuxième colonne, on n'a plus le droit de choisir un élément dans la première ligne, puisqu'on a déjà choisi a1,1.
La seule façon d'éviter encore une fois un zéro est de choisir a2,2.
Dans la 3ème colonne, on ne peut plus choisir un élément de la 1ère ligne, ni de la deuxième ligne (car a1,1 et a2,2, ont été choisis).
Et ainsi de suite...
Je n'utilise pas de développement du déterminant selon les colonnes. -
Sans parler ni de lignes ni de colonnes ni de déterminant , je trouve agréable de voir
$$\sigma\neq Id \Longrightarrow \exists\,i\, \text{tel que}\,\sigma(i)> i$$
edit on note bien sûr que $\sigma\neq Id\iff \exists\,i\, tq\, \sigma(i)\neq i$Le 😄 Farceur -
Si tu prends la contraposée de ton implication, tu retrouveras ce que je dis ;-)
Edit : Si tu prends l'équivalence contraposée de ton équivalence, tu retrouveras ce que je dis ;-) -
$$\sigma\neq Id \Longrightarrow \exists\,i\, \text{tel que}\,\sigma(i)> i$$
Pourquoi on ne pourrait pas trouver à la place de supérieur strictement,inférieur ou égale? Et que veut dire vraiment cette écriture? -
Cette implication veut dire, en bon français, que si la permutation que tu choisis n'est pas l'identité, alors forcément, dans le calcul du déterminant de ta matrice triangulaire supérieure, tu vas obligatoirement piocher un nombre qui ne se trouve sous la diagonale.
La permutation identité est justement celle qui va multiplier tous tes éléments diagonaux ensemble.
Selon moi, la contraposée est plus simple à comprendre pour toi : "si pour tout i, on a $\sigma(i) \geq i$ alors $\sigma = Id$".
(Si A implique B alors non(B) implique non(A)).
Je vais te donner un conseil : il faut que tu travailles bien le chapitre sur le groupe symétrique. Essaye d'appliquer ta formule sur une matrice 2x2 par exemple.
(a b)
(c d)
Pose-toi des questions comme :
Quelles sont les permutations de S2 ? Combien y en a-t-il ?
Comment utiliser la formule fondamentale pour calculer le déterminant d'une matrice 2x2 ? Tu remplaces tranquillement dans la formule par ce qu'il faut (Et retrouver la formule bien connue ad - bc).
Je t'assure que ce n'est pas une perte de temps car cela t'aidera à comprendre et tu te diras : "Ah ben oui ! Je comprends mieux cette formule, c'est ça que veut dire ces $\sigma$ dans tous les sens (et tu penseras au jeu du Sudoku :-D).
Une fois ce travail fait, crois-moi que tu pourras bien comprendre ce qu'est la nature d'un déterminant (du moins d'un point de vue algébrique, car du point de vue géométrique, il y a aussi des choses à dire).
Après pour calculer des déterminants, on utilise plutôt un développement selon une ligne ou une colonne, en ayant utilisé au préalable des opérations sur les lignes ou les colonnes pour faire apparaître des 0.
Tu vas bientôt arriver à cette notion vu ton avancement. -
Soit $\sigma\neq \mathrm{Id}$ une permutation de $\{1,\ldots, n\}$. Soit $i$ le plus petit entier $\geq 1$ tel que $\sigma(i)\neq i$. Pour tout $j$ vérifiant $1\leq j <i$ on a $j=\sigma(j)\neq \sigma(i)$. Donc $\sigma(i)>i$.
-
Tout ceci est vraiment intéressant, en effet j'ai travaillé le chapitre des groupes symétriques du moins le cours et je m'attaquerai très prochainement aux exos! Ceci dit j'ai une dernière question sur une formule que j'ai trouvé sur le chapitre des espaces préhilbertiens:
(x+y,x-y)=IIxII²+IIyII². Je voudrais savoir d'où cela vient. Merci -
De nulle part, puisque la formule que tu as écrite est fausse.
Ton espace est réel ? Tu démontreras immédiatement la bonne formule en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire. -
Oui elle est fausse! Merci j'ai trouvé la bonne.
-
Je n'ai jamais essayé de démontrer la formule du déterminant par bloc $\matrix{A\, B\\O\, C}$ exclusivement par la définition d'un déterminant utilisant les permutations
( A,B,C des matrices d'ordre n et O la matrice nulle d'ordre n)
C'est facile ?Le 😄 Farceur -
Je pense que la preuve va s'apparenter un peu à celle d'une matrice diagonale.
Pour éviter les contributions menant à 0, il faut donc éviter le bloc de 0.
Il faut épuiser d'abord toutes les permutations dans le bloc A pour former son déterminant (sinon, on tomberait sur un élément du bloc nul à un moment).
(Si on commençait par le bloc B, on débordera inévitablement sur le bloc de 0).
Une fois ce bloc A épuisé, il n'est plus possible de choisir les lignes i entre 1 et n.
Il ne reste donc qu'à épuiser toutes les permutations du bloc C pour former son déterminant.
Je te laisse mettre des $\sigma$ @gebrane :-D -
Mh! tu me mets dans des sales draps :-D. Je vais reprendre mon courage et chercher une façon élégante avec les sigma .Le 😄 Farceur
-
Maintenant la question est : qu'est-ce qu'une démonstration "acceptable" ?
Une preuve où l'on arrive à expliciter une méthode, une démarche, où il est possible de la rendre intelligible ?
Ou bien une démonstration purement technique faisant intervenir des symboles mathématiques ?
Moi j'aime bien cette preuve sans mots. -
@Rietveld
J'aimerais bien comprendre techniquement ce qui se passe avec les permutations.
Lorsque la matrice est triangulaire, on a bien vu que la seule permutation qui survit est l'identité.
Soit $M=\left(\begin{array}[cc]\\A&B\\
O&C\end{array}\right)$ avec $A,B,O,C\in M_n$ et $O$ la matrice nulle
Dans ce cadre , c'est un délice de chercher les permutations qui vont survivre !
$\def\sg{\operatorname{sgn}}
\det(M) = \sum_{\sigma \in S_{2n}} \sg(\sigma) \prod_{i = 1}^{2n} m_{i,\sigma(i)}.$
$m_{i,j}$ est nul si $i\geq n+1$ et $j\leq n$ à méditerLe 😄 Farceur -
@moduloP je ne vois pas ce que tu veux dire ?
Avec mes notations les permutations qui vont survivre sont Les $\sigma \in \mathfrak{S}_{2n}$ tel que $\sigma(k) \in \{n+1,\dots,2n\}$ pour tout $k \in \{n+1,\dots,2n\}$
On note $ \mathfrak{S}_{n}$ les permutations de l'ensemble $\{1,...,n\}$ et
$ \mathfrak{\tilde S}_{n}$ les permutations de l'ensemble $\{n+1,...,2n\}$
$\def\sg{\operatorname{sgn}}
det (A)\det(B)=\left(\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}} \sg(\sigma)\prod_{i = 1}^n m_{i,\sigma (i)}\right) \left(\sum_{\tilde\sigma \in \mathfrak{\tilde S}_{n}} \sg(\tilde \sigma)\prod_{i = n+1}^{2n} m_{i,\tilde \sigma (i)}\right)
\\
=\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}} \sum_{\tilde\sigma \in \mathfrak{\tilde S}_{n}} \sg(\sigma)\sg(\tilde \sigma) \big (\prod_{i = 1}^n m_{i,\sigma (i)} \big) \big( \prod_{i = n+1}^{2n} m_{i,\tilde \sigma (i)} \big)
\\=???=det M$
A méditer !Le 😄 Farceur -
La grande question est "ça ne suffira pas... Pour quoi ?" Convaincre ? Réussir des concours ? Épater ses amis ?
:-D
Je plaisante, mais il est vrai qu'il faut être rigoureux. Mais selon moi, donner du sens prime sur la technicité.
Je ne suis pas un étudiant, je renoue avec les maths du supérieur, en essayant de leur donner du sens. Je suis passé à côté de beaucoup de choses, que je n'avais pas comprises en fait. -
@ Algébriste
J'ai besoin de ton expertise pour compléter le maillon qui manque dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1690920,1692302#msg-1692302Le 😄 Farceur -
@gebrane : quelle différence vois-tu entre les permutations de $\{1,\ldots,2n\}$ pour lesquelles la partie $\{n+1,\ldots,2n\}$ est stable et celles pour lesquelles la partie $\{1,\ldots,n\}$ est stable ??
Si $f$ est une bijection de $E$ sur $F$ et si $f(A)=B$ ($A$ partie de $E$ et $B$ partie de $F$), alors $f(E\setminus A)= {??}$. -
f(E / A)=F / B
Tu veux me dire que donc que l'ensemble
de permutations de $\mathfrak{S}_{2n}$ permutant les premiers éléments entre eux est isomorphe à $\mathfrak{S}_{n} \times \mathfrak{\tilde S}_{n}$ ( sous mes notations) et le dernier maillon est monté
J'etais vraiment aveugle de ne pas voir si les n premiers éléments sont permutés entre eux, alors les n éléments restants le sont, et le signe de toute la permutation est le produit des signes de ses restrictions à ces deux sous-ensembles.Le 😄 Farceur -
Merci infiniment Gabu.
Maintenant je m’intéresse au déterminant (toujours avec les permutations) de la matrice
$M=\left(\begin{array}\\A&B\\
C&O\end{array}\right)$ avec $A,B,O,C\in M_n$ et
$O$ la matrice nulle
Pour le moment, je ne sais si c'est faisable et sans surprisesLe 😄 Farceur -
Tu devrais y arriver par la même méthode. Une autre possibilité : multiplier par une certaine matrice pour se retrouver au cas précédent.
On peut aussi voir les choses avec de l'algèbre extérieure. On sait que le produit extérieur des colonnes de $A$ est égal à $\det(A) e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$. On peut donc écrire que
$$\begin{vmatrix}
A & B\\
0 & C
\end{vmatrix} = \det(A) \times \begin{vmatrix}
\operatorname{Id}_n & B\\
0 & C
\end{vmatrix} \text{.}$$
Ensuite, on supprime $B$ grâce à des opérations sur les colonnes et la matrice identité, puis il reste $\det(C)$, et voilà. -
Bonjour Champ-Pot-Lion
Mon but( amusement d'été) c'est de démontrer ces formules uniquement par la formule des permutations.
Le calcul du determinant de $M=\left(\begin{array}\\A&B\\
C&O\end{array}\right)$ est immédiat
( car on se ramène à un déterminant d'une matrice $M'=\left(\begin{array}\\E&F\\
O&G\end{array}\right)$ )
Mais pour le moment je n'arrive pas à appliquer la même méthode ( je dois me convaincre "avec la methode des permutations" sur l'apparition d'un $(-1)^n$)Le 😄 Farceur -
Les permutations donnant un terme non nul dans la formule avec les signatures de permutations pour $\begin{pmatrix} A&B\\C&0\end{pmatrix}$ sont bien évidemment les permutations qui envoient $\{1,\ldots,n\}$ sur $\{n+1,\ldots,2n\}$ et vice-versa. Il suffit de composer avec le produit des $n$ transpositions $(i,i+n)$ pour $i=1,\ldots n$ pour retrouver les permutations stabilisant $\{1,\ldots,n\}$ et $\{n+1,\ldots,2n\}$. La signature du produit de $n$ transpositions, c'est $(-1)^n$.
-
C'est le meme constat que j'ai bien vu ( mon message d'avant) $det \left(\begin{array}\\A&B\\ C&O\end{array}\right)= (-1)^n det \left(\begin{array}\\B&A\\
O&C\end{array}\right)$ en permutant pour j=1,...., n la j ieme colonne de M avec la j+n ieme colonne
Je n'ai pas pu le voir avec les transpositions .
Merci GabuLe 😄 Farceur -
The end.Le 😄 Farceur
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 9
+6 Invités