Ce que dit Cyrano permet de se ramener au cas $\DeclareMathOperator{\Id}{Id}M = \Id$. Il reste à montrer que si $N$ est de rang $1$, alors $\det(\Id-N) = 1 - \operatorname{Tr}(N)$. Écrit comme ça, ça fait penser au polynôme caractéristique : on sait qu'il est de la forme $\lambda^n - \operatorname{Tr}(N) \lambda^{n-1}$ puisque le noyau est de dimension au moins $n-1$, donc c'est bien vrai.
Je ne connaissais pas cette caractérisation des matrices de rang 1, qui me paraît évidente par la suite, quand on y a réfléchi un peu (j'ai sorti une feuille et un stylo pour m'en rendre compte).
Après je me demande souvent si les résultats qui sont utilisés ça et là par les intervenants sur les différents sujets sont des résultats "classiques" ou plutôt anecdotiques. Comme celui-ci par exemple.
Rietveld, ici c'est standard :
1) Le premier coefficient de $\lambda^n$ dans le polynôme caractéristique es $1$ et celui de $\lambda^{n-1}$ est la trace.
2) Le multiplicité géométrique d'une valeur propre est plus petite que sa multiplicité géométrique. Ici, la multiplicité géométrique de $0$ est $n-1$, car la matrice est de rang $1$, donc $\lambda^{n-1}$ divise le polynôme caractéristique.
Je pense que tu as fait un petit lapsus dans la 2) : Le multiplicité géométrique d'une valeur propre est plus petite que sa multiplicité algébrique.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu as complété la remarque de Cyrano en cherchant à montrer une égalité sous la condition que M soit de rang 1 ?
Il me semblait que la solution proposée par Cyrano répondait à la question ?
(J'essaye de comprendre, et cela me fait beaucoup de bien )
Ah oui pour le lapsus j'ai écrit "le multiplicité", oups.
> Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu as complété la remarque de Cyrano en cherchant à
> montrer une égalité sous la condition que M soit de rang 1 ?
Oups encore, je me suis mélangé dans mes notations. J'ai écrit $M$ partout alors qu'à des endroits ça devrait être $N$.
> Il me semblait que la solution proposée par Cyrano répondait à la question ?
Non, ce que montre la remarque de Cyrano est que $\det(M+N) = \det(M) \det(\Id + M^{-1} N)$, ce n'est pas ce qui est demandé.
Mais à part ça, l'énoncé que demande de prouver gebrane est quand même un peu mal posé car il suffit de prendre $v = M (1,0,0,\dots,0)^T$ et $u=(x,0,\dots,0)^T$ avec $x = \frac{\det(M+N)}{\det(M)} - 1$.
Soient $X, Y\in M_{n,1}(\R)$ et la matrice A définie par $A=I+XY^T$ alors le spectre ( ponctuel) de A, sont 1 et $1+X^TY$ avec 1 de multiplicité n-1 et par suite $det(A)=1+X^TY$
Preuve OK merci Champ-Pot-Lion.
Par hypothèse $N$ est rang 1 donc il existe $u,v\in M_{n,1}(\R)$ tel que $N=uv^T$ et donc
$M+N=M(I+M^{-1}uv^T)=M(I+XY^T)=M.A$ avec $X=M^{-1}u$ et $Y=v$ et la conclusion s'en suit en utilisant le lemme
Réponses
Cela dit ton énoncé est surement faux car le produit $u^T M^{-1} v$ n'est pas bien défini.
Par contre on a $$M+N = M+ u^T v = M+ M M^{-1} u^T v.$$ Donc $$\text{det}(M+N) = \text{det}(M) \text{det}(1+ M^{-1} u^T v).$$
EDIT : A mon avis tu voulais parler de vecteurs colonnes, de sorte que $u^T M^{-1} v$ soit un réel.
@CPL merci pour la confirmation, je vais suivre ton raisonnement
Je ne connaissais pas cette caractérisation des matrices de rang 1, qui me paraît évidente par la suite, quand on y a réfléchi un peu (j'ai sorti une feuille et un stylo pour m'en rendre compte).
Merci @Cyrano.
Après je me demande souvent si les résultats qui sont utilisés ça et là par les intervenants sur les différents sujets sont des résultats "classiques" ou plutôt anecdotiques. Comme celui-ci par exemple.
1) Le premier coefficient de $\lambda^n$ dans le polynôme caractéristique es $1$ et celui de $\lambda^{n-1}$ est la trace.
2) Le multiplicité géométrique d'une valeur propre est plus petite que sa multiplicité géométrique. Ici, la multiplicité géométrique de $0$ est $n-1$, car la matrice est de rang $1$, donc $\lambda^{n-1}$ divise le polynôme caractéristique.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu as complété la remarque de Cyrano en cherchant à montrer une égalité sous la condition que M soit de rang 1 ?
Il me semblait que la solution proposée par Cyrano répondait à la question ?
(J'essaye de comprendre, et cela me fait beaucoup de bien )
> Cependant, je ne comprends pas pourquoi tu as complété la remarque de Cyrano en cherchant à
> montrer une égalité sous la condition que M soit de rang 1 ?
Oups encore, je me suis mélangé dans mes notations. J'ai écrit $M$ partout alors qu'à des endroits ça devrait être $N$.
> Il me semblait que la solution proposée par Cyrano répondait à la question ?
Non, ce que montre la remarque de Cyrano est que $\det(M+N) = \det(M) \det(\Id + M^{-1} N)$, ce n'est pas ce qui est demandé.
Mais à part ça, l'énoncé que demande de prouver gebrane est quand même un peu mal posé car il suffit de prendre $v = M (1,0,0,\dots,0)^T$ et $u=(x,0,\dots,0)^T$ avec $x = \frac{\det(M+N)}{\det(M)} - 1$.
Par hypothèse $N$ est rang 1 donc il existe $u,v\in M_{n,1}(\R)$ tel que $N=uv^T$ et donc
$M+N=M(I+M^{-1}uv^T)=M(I+XY^T)=M.A$ avec $X=M^{-1}u$ et $Y=v$ et la conclusion s'en suit en utilisant le lemme