Inégalité de Cauchy

Que dit la formule de Cauchy-Schwarz ?
Il y a un produit scalaire et deux normes à calculer.

Alors qu'as-tu rédigé @Nounouvch ?

Il faut que tu t'inspires de ce que tu sais faire dans le plan et l'espace. Je pense que tu as déjà calculé des produits scalaires et des normes dans ces contextes.

je sais que je dois trouver; n fois une somme de vecteurs

????

Tu peux présenter ce que tu as fait, pour qu'on puisse analyser ce qui ne va pas.
C'est comme cela que l'on progresse, en comprenant ses erreurs (on les fait une fois, peut-être deux fois par manque d'inattention, mais pas trois fois ;-)).

On te demande ce que tu fais, pas ce que tu dois obtenir.

Qui est u ? Qui est v ? Combien fait (u,v) ? Combien vaut ||u|| ? ||v|| ? On remplace dans la formule ...

Non !

La définition du produit scalaire (u,v) est connue (en fait, pour les vecteurs du plan depuis la classe de première du lycée). Et tu sais évidemment que ||u||²=(u,u).

Qu'est-ce qui te bloque @Nounouvch ?
C'est une simple application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Tu peux prendre le même produit scalaire que tu utilisais avec les vecteurs dans le plan.

Par exemple :
$\overrightarrow{AB} ( 3 ; 2)$ et $\overrightarrow{CD} ( 1 ; -4)$. Comment calcules-tu $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$ ?

Si tu sais répondre à cette question, tu peux calculer le membre de gauche de ton inégalité.

Pour la norme, comment calculerais-tu $\left \| \overrightarrow{AB} \right \|$ ?

Là aussi, si tu sais répondre à cette question, tu pourras calculer le membre de droite de ton inégalité.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est donnée dans $\mathbb{R}$ avec une valeur absolue autour du produit scalaire.
J'espère que tu as bien fait attention à ce point.
Car dans l'inégalité qu'on te demandait de trouver, les membres ont été élevés au carré.

J'ai quelque chose qui te sera peut-être utile dans un avenir proche :
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=fr-fr
Ce lien te permettra d'écrire du code $\LaTeX$ et de le copier ici-même, sans que tu aies à passer par toute la technicité du langage :-)

Quand tu écris quelque chose comme $u_i$, $u_j$, $e_k$, sais-tu ce que représentent ces choses ? Et quel type d'objet c'est ?

Quand on fait un produit scalaire, un projette un vecteur orthogonalement sur un autre et "on regarde la longueur de la projection". Quand on projette un vecteur sur un vecteur qui lui est orthogonal, que vaut cette projection ? Du coup, si l'on projette un vecteur quelconque $v$ (que je te laisse "décomposer") sur un vecteur de la base canonique (qui est une base orthogonale) de $\mathbb{K}^n$, que va-t-il arriver aux différentes composantes de $v$ ? Une fois que tu auras saisi ce qu'il se passe, tu devrais comprendre pourquoi dans la formule que tu viens de poster (qui contient un produit scalaire dans un produit scalaire, donc on "projette un vecteur sur un deuxième, et on projette ce projeté sur un troisième vecteur") la somme disparaît

C'est ça. Si tu as un vecteur $v$ qui s'écrit $(v_1 , ... , v_n)$, sous-entendu dans la base canonique $(e_1 , ... , e_n)$, en fait ce $n$-uplet n'est qu'une écriture condensée de $v = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} v_k e_k$. Là où il faut faire attention c'est que, même si les écritures $v_k$ et $e_k$ donnent envie de croire qu'il s'agit du même type d'objet, il faut faire très attention ! Ici, les $e_k$ sont des vecteurs et les $v_k$ sont des scalaires.

Ensuite, il faut savoir que la base canonique $(e_1 , ... , e_n)$ de $\mathbb{R}^n$ ou de $\mathbb{C}^n$ est orthonormale : c'est-à-dire que $\langle e_i , e_j \rangle = 0$ dès que $i \neq j$, et que $\langle e_i , e_i \rangle = 1$ pour tout $i$ (sachant que, par définition, $\langle x, x \rangle= ||x||^2$).

Avec ça, sachant que le produit scalaire est bilinéaire, tu devrais réussir à comprendre l'équation que tu viens de poster.

Mais encore une fois, il faut faire attention. Dans l'équation que tu as postée, $u_i$ et $u_j$ représentent des vecteurs, c'est... déroutant

Je dois avouer que ce corrigé n'aide pas à comprendre la démonstration et il ne permet pas de suivre le fil conducteur de ce qui se joue.
Je ne me réjouis pas du fait que plusieurs auteurs (et j'ai déjà vu des enseignants) mettent plusieurs signes "=" sur une même ligne, juste pour un gain de place, car on perd du sens. Alors que chaque point est important, surtout dans une phase d'apprentissage.

Je vais te donner un coup de pouce :

Commence plutôt par : <f + f', f> = ... = ... (bilinéarité du produit scalaire) (1)

Or comme x = f + f' alors <f + f', f> = ... (2)

Donc ... (en utilisant (1) et (2))

Dans ta première ligne, utilise ce que tonton @GaBuZoMeu t'a rappelé. Regarde où se trouvent f et f'.

J'avoue que cette disposition d'égalité a pu t'induire en erreur, car ce n'est pas très lisible. Tu as du te demander d'où le f' sortait, ajouté en catimini (et tu as bien raison, on n'ajoute pas des éléments comme ça, sans justification, d'où l'intérêt de bien tout justifier quand tu seras face à une copie, car ton correcteur aura peut-être autant de mal à te relire que tu as eu du mal à comprendre cette suite d'égalités).

Tout à fait !

Et tu as maintenant ce qu'il faut. En reprenant ta troisième ligne, tu en déduis quoi au sujet de <f,f> ?
As-tu compris par la suite pourquoi f = 0_E ?

C'est-à-dire ?

D'accord ! C'est bien ça.
Je ne savais pas qu'on appelait cela ainsi.
Pour moi, c'est juste la définition du produit scalaire, qui est une forme bilinéaire définie.

Je te conseille de refaire cette démonstration par toi-même, et te la rédiger avec ta propre façon de faire, tes annotations, tes remarques...

En tous cas, je te vois progresser Nounouvch, tu arrives à t'approprier les indications données et c'est très bien !