Pratiquer l’algèbre pour la 1èreS
Bonjour, je rentre l’année prochaine en 1èreS et j’essaye de m’entrainer le plus possible concernant le calcul littéral. Ainsi je cherche des fiches d’exercices. J’ai cherché et j’ai pu finir les fiches trouvées sur Internet mais elles s’y trouvent en quantité réduites et sont je trouve un peu trop « simple ». C’est pour cette raison que je vous demande si vous connaissez des ressources pour m’entrainer (Pdf, livre ..) merci !
Réponses
-
Je reposte ici la fiche sur les produits nuls crée par un autre intervenant du forum (dont je ne connais pas le nom). C'est le genre d'exercices que devrait savoir faire un élève entrant en 1e S.
-
bonjour
les manuels conformes au programme de première S en math
sont nombreux et de bonne qualité (Hachette, Bordas, Nathan etc.)
ils restent valables puisque le 1ère S n'est pas concernée encore par le nouveau bac
tu as le choix et tu les trouveras d'occasion chez les libraires scolaires
bonnes vacances tout de même ! -
Extrait d'un billet de colle retrouvé dans un placard :
Démontrer que pour tous nombres réels $x,y,z,t$ et tout réel positif $N$.
1. $\qquad 4xy = (x+y)^2 - (x-y)^2 $.
2. $\qquad x^2+y^2+z^2 + xy + yz + zx = \dfrac{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}$.
3. $\qquad x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx = \dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}$.
4. $\qquad x^2+y^2+z^2 + 2(xy + yz + zx) = (x+y+z)^2$.
5. $\qquad x^2+y^2+z^2 + 3(xy + yz + zx) = (x+y)(y+z) + (y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)$.
6. $\qquad xy + yz + zx-(x^2+y^2+z^2) = (x-y)(y-z) + (y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)$.
7. $\qquad x^2+y^2+xy = \dfrac{x^2 + y^2 + (x+y)^2}{2}$.
8. $\qquad x^2+y^2-xy = \dfrac{x^2 + y^2 + (x-y)^2}{2}$.
9. $\qquad x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=(x-y)^2+(x-z)(y-z)$.
10. $\qquad x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=\dfrac{1}{6}[(2x-y-z)^2+(2y-z-x)^2+(2z-x-y)^2]$.
e.v.
[ Les \qquad ont été mis à la casse sur la recommandation de Dom. ]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Faut y aller en quad ?
-
$(x + y)^2 - (x - y)^2$
<=>
$x² + y² + 2 xy - (x² + y² - 2 xy) $
<=>
$x² + y² + 2 xy -x² -y² + 2 xy$
<=>
$x² -x² +y² -y² + 2xy +2xy = 4xy$ -
L'abus d'équivalents est dangereux pour la santé (:P)
Ce sont des égalités. -
@ delphin.
Ton usage des $\Longleftrightarrow$ est incorrect.
Tu ne peux écrire ce symbole qu'entre deux phrases qui peuvent prendre la valeur Vrai ou Faux.
Ce n'est pas le cas dans ta rédaction.
Ici tu veux écrire des suites d'égalités :
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels,
\begin{align*}
(x + y)^2 - (x - y)^2 &= x^2 + y^2 + 2 xy - (x^2 + y^2 - 2 xy)\\
&= x^2 + y^2 + 2 xy -x^2 -y^2 + 2 xy\\
&=x^2 -x^2 +y^2 -y^2 + 2xy +2xy\\ &= 4xy
\end{align*}
Vois-tu les nuances ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci Ev
$\qquad x^2+y^2+z^2 + xy + yz + zx =
\dfrac{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}$.
Dois-je partir du membre de droite puis développer ? -
Il se peut que ça se puisse.
-
En règle générale, on part du membre où il y a "un travail immédiat à réaliser" telle que des développements.
Et avant de commencer, tu peux même la modifier un peu sans changer cette égalité comme par exemple :
$ 2(x^2+y^2+z^2 + xy + yz + zx) = (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2$ ce qui évite de faire apparaître des fractions. -
Plusieurs écoles s'affrontent:
1. Partir de la gauche pour arriver à la droite.
2. Partir de la droite pour arriver à la gauche.
3. Effectuer la différence et démontrer qu'elle est nulle.
4. Démontrer que les deux membres sont égaux à un même troisième.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
On peut rajouter :
partir d'une égalité connue et la transformer.
Cordialement. -
Bonjour,
@Tuta: http://pharedesmaths.free.fr/spip.php?rubrique126
Tu trouveras quelques documents proposés en fin d'année scolaire dernière à des élèves de Seconde qui intégreront une Première S dans quelques semaines (dans le cadre d'un stage proposé gratuitement par mon lycée public aux élèves volontaires au mois de juin).
@ Eric: Je suis l'auteur de la feuille d'exercices sur la règle du produit nul. Si cela peut servir, tant mieux.
Cordialement.
Y. -
Bonjour Gérard.
Tu veux dire
partir d'une égalité connue et en spécifiant les variables, pour aboutir à l'égalité demandée.
Ce n'est pas fréquent en première, mais ça s'est déjà vu.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je crois qu'il parle, par exemple des cas où on a du travail dans chacun des membres.
On fait ceci à gauche, on fait cela à droite, et on voit si ça donne la même chose. -
mais là, il y a plus de développement à faire dans le membre de droite ?
-
Oui, oui, c'est une méthode qui peut s'appliquer ici lorsque l'on a une idée de comment transformer le membre de droite.
En calcul littéral de ce genre, on est sûr que développer va permettre de décoincer les choses. -
$\qquad x^2+y^2+z^2 + xy + yz + zx =
\dfrac{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}$.
<=>
$2 \left(x² + y² +z² + xy + yz + zx \right) = (x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2$
<=>
$2 \left(x² + y² +z² + xy + yz + zx \right) = x² + y ² + 2xy + y² + z² + 2 yz + z² + x² + 2zx$
<=>
$2 \left(x² + y² +z² + xy + yz + zx \right) = x² +x² + y² + y² + z² + z² + 2xy + 2yz + 2 zx$
<=>
$2x² + 2y² + 2z² + 2 xy + 2 yz + 2 zx = 2x² + 2 y² + 2z² + 2 xy + 2 yz + 2 zx$ -
Bien, cependant, comment conclure proprement ?
-
L'usage des équivalents est correct. Mais je pense qu'il est plus judicieux de partir d'un membre pour arriver à l'autre, en utilisant des égalités.
-
il y a déjà un signe égal entre deux membres, en mettant un autre signe égal entre les lignes cela risque d'être confus
-
Dom : Dois - je faire la différence des deux membres ?
-
Une présentation possible, sur la base de tes calculs.
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels, [important : il faut que tout le monde sache de qui tu parles]
\begin{align*}
(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 &=
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 + z^2 + 2 yz + z^2 + x^2 + 2zx \\
&= x^2 +x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2 zx\\
&= 2x^2 + 2 y^2 + 2z^2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx\\
&= 2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx)
\end{align*}
En divisant les deux membres par $2$ on obtient bien
\[ x^2+y^2+z^2 + xy + yz + zx = \dfrac{(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}. \]
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Reprends tes calculs, tu pars du membre en haut à droite, et tu descends, puis tu vas vers la gauche, puis tu remontes d'une ligne, comme si tu traçais la lettre de L à l'envers.
Et ça te fera une jolie rédaction (je ne sais pas si c'est clair). -
Donc
je pars du membre en haut à droite
$x^2 + y^2 + 2xy + y^2 + z^2 + 2 yz + z^2 + x^2 + 2zx$
mais pour aller vers la gauche, il faudrait que je fasse comme ev
c'est à dire déplacer l'écriture avec le latex mais là je vois pas trop
je continue de chercher.. -
Une petite identité :
$$
\left(2 x^{2} + 2 x y + 7 y^{2} \right) \times \left(2 z^{2} + 2 zt + 7 t^{2} \right) = (2xz+xt+yz + 7yt)^2+13 (xt-yz)^2
$$ -
Bonjour Modulo
Que faut-il démontrer ? -
Ah bin l'égalité des deux membres, sauf si tu vois directement que c'est la même chose :-D
-
$$
\left(2 x^{2} + 2 x y + 7 y^{2} \right) \times
\left(2 z^{2} + 2 zt + 7 t^{2} \right) =
(2xz+xt+yz + 7yt)^2+13 (xt-yz)^2
$$
$$
\left(2 x^{2} + 2 x y + 7 y^{2} \right) \times
\left(2 z^{2} + 2 zt + 7 t^{2} \right) =
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt + 14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 $$ -
à partir de là, je vois pas trop comment continuer
-
Je ne vérifie pas : ni si l'exercice est juste, ni si tes calculs sont justes.
Cependant, tu as développé le membre de gauche.
Maintenant, développe le membre de droite. -
$13 (xt-yz)^2 = 13 \left[(xt)^2 - (yz)^2 - 2 (xt)(yz)\right]$
$(2xz+xt+yz + 7yt)^2$
ça j'ai pas vu et c'est pas une identité remarquable -
Delphin :
$$(a+b+c+d)^2 = (a+b+c+d)(a+b+c+d)$$ -
@ delphin
$13 (xt-yz)^2 = 13 \left[(xt)^2 - (yz)^2 - 2 (xt)(yz)\right]$
Tu es sûr ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
$13 \left(xt - yz\right)^2 = 13\left[(xt)^2+ (yz)^2 - 2 (xt)(yz)\right]$
-
Oui.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
$$
\left(2 x^{2} + 2 x y + 7 y^{2} \right) \times
\left(2 z^{2} + 2 zt + 7 t^{2} \right) = (2xz+xt+yz + 7yt)^2+13 (xt-yz)^2
$$ $$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = \left(2xz + xt + yz + 7yt\right)\left(2xz + xt + yz + 7yt\right) +
$$ $$13 \left[(xt)^2 + (yz)^2 - 2 (xt)(yz)\right]
$$ $$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² + 2x²zt + 2 xyz² + 14xzyt + 2 x²zt + x²t²
$$ $$+xtyz + 7xy t² + 2 xyz² + xtyz + y²z² + 7y²t² + 14 xyzt + 7 xyt² + 7 y²zt + 49 y²t² +
$$ $$13 (xt)² + 13 (yz)² - 26 xtyz $$ -
maintenant je vais essayer de regrouper les termes dans le membre de droite
-
L'identité de Brahmagupta est un beau résultat à démontrer, abordable pour un élève de Seconde :
$(x² - ny²)(z² - nt²) = (xz + nyt)² - n(xt + yz)²$ -
$$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² +(2x²zt + 2 x²zt )+ (2 xyz² + 2 xyz² )+
$$ $$(14xzyt + 14 xyzt) + (xtyz + xtyz - 26 xtyz )+ x²t² + 13 (xt)² +( 7xy t² + 7 xyt² ) + y²z² + 13 (yz)² + 7 y²zt + (49 y²t² + 7y²t² )
$$ $$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² +4x²zt + 14 xy t² +4 xyz² +
$$ $$28xzyt - 24 xtyz + x²t² + 14 x²t² + 13 y²z² + 7 y²zt + 56 y²t²
$$ $$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² +4x²zt + 15 x²t² +4 xyz² +
$$ $$4xzyt + 14 xy t² + 13 y²z² + 7 y²zt + 56 y²t² $$ -
Delphin : tu devrais expliquer un peu ce que tu as fait car là ce n'est pas très clair !
-
Enfin pas la peine de mettre les grosses formules, mais est-ce que tu arrives au même résultat ou non ?
-
Bonsoir Modulo
Non je n'arrive pas à démontrer
J'ai réessayé $$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² +
( 2x²zt + 2 x²zt )+ (13 x²t² + x²t² )
$$ $$+ (2 xyz² + 2 xyz²) + (14xzyt + 14 xyzt - 26 xtyz +xtyz + xtyz) +( 7xy t² + 7 xyt² )+ (13 y²z² +y²z² )+
7y²t² + 7 y²zt + 49 y²t²
$$
$$
4x^2z^2 +4x^2zt+14x^2t^2 + 4xyz^2 +4xyzt +
14xyt^2+14y^2z^2 + 14 y^2zt + 49y^2t^2 = 4x²z² + 4 x²zt + 14 x²t² + 4 xy z² +
$$ $$(28 xyzt - 26 xtyz + 2 xtyz) + 14 xyt² + 14 y²z² + 56 y²t² + 7y²t²$$ -
je vais aussi re vérifier l'expression de gauche
il y a peu être un quad qui n'est pas allé à la casse, s'il en reste un je vais aller faire un tour avec -
C'est le membre de droite qui ne va pas : le $7y^2t^2$ me parait très étrange !
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