Actions de groupe (et algèbre générale)
Bonjour,
j'ai beaucoup de difficultés à assimiler la notion d'action de groupe. Et cela m'empêche donc pleinement de comprendre ses liens avec la géométrie.
Le vocabulaire utilisé ne me fait pas sens (action libre ? Transitive ? Simplement transitive ? Fidèle ?).
S'il y avait un moyen simple de s'en souvenir et de les comprendre ça ne serait pas mal.
Les notions d'orbites, de classes de conjugaison, stabilisateur, même combat.
Comprendre une définition est une chose, mais comprendre le sens profond des objets en jeu, c'est autre chose.
Ils ne me font hélas pas sens. J'ai beau les lire, mais il me manque le déclic qui permettra de créer un tout cohérent.
(C'est un peu comme si on dérivait une fonction, sans connaitre le sens profond de ce qu'est une dérivée).
Et vous devinez donc que je ne peux pas accéder pleinement à la formule des classes et celle de Burnside.
Ce problème perdure en raison d'un double constat :
- On voit les structures algébriques lors de la première année de prépa, on y définit la notion de groupe (on approfondit le groupe symétrique, on voit d'autres structures de groupe telles que le groupe linéaire etc). Et les ressources s'y rapportant sont très basiques et peu approfondies.
- Puis, il y a un fossé (ou un gouffre) qui apparaît quand on souhaite aborder un cours sur des notions plus poussées sur les groupes (sous groupes distingués et actions de groupes notamment). Et là, les ressources deviennent très ardues. Il y a très peu d'exemples j'ai l'impression pour illustrer de manière simple chaque notion.
Or j'aimerais trouver une ou des ressources qui expliquent ces notions de manière pédagogique, sans prendre de raccourcis.
Je pense que ces ressources qu'on trouve sur le net sont réalisés par des enseignants, et les étudiants complètent par des questions qu'ils peuvent poser en direct sur certains points, il y a des TD etc.
Mais si on veut travailler en autonomie, ces supports me semblent difficiles d'utilisation.
J'aimerais tellement comprendre ces notions, de façon à ce qu'elles me soient limpides.
Pouvez-vous me donner un sens à ces notions, avec vos propres mots, vos propres expériences ?
J'apprends beaucoup en vous lisant.
En vous remerciant.
j'ai beaucoup de difficultés à assimiler la notion d'action de groupe. Et cela m'empêche donc pleinement de comprendre ses liens avec la géométrie.
Le vocabulaire utilisé ne me fait pas sens (action libre ? Transitive ? Simplement transitive ? Fidèle ?).
S'il y avait un moyen simple de s'en souvenir et de les comprendre ça ne serait pas mal.
Les notions d'orbites, de classes de conjugaison, stabilisateur, même combat.
Comprendre une définition est une chose, mais comprendre le sens profond des objets en jeu, c'est autre chose.
Ils ne me font hélas pas sens. J'ai beau les lire, mais il me manque le déclic qui permettra de créer un tout cohérent.
(C'est un peu comme si on dérivait une fonction, sans connaitre le sens profond de ce qu'est une dérivée).
Et vous devinez donc que je ne peux pas accéder pleinement à la formule des classes et celle de Burnside.
Ce problème perdure en raison d'un double constat :
- On voit les structures algébriques lors de la première année de prépa, on y définit la notion de groupe (on approfondit le groupe symétrique, on voit d'autres structures de groupe telles que le groupe linéaire etc). Et les ressources s'y rapportant sont très basiques et peu approfondies.
- Puis, il y a un fossé (ou un gouffre) qui apparaît quand on souhaite aborder un cours sur des notions plus poussées sur les groupes (sous groupes distingués et actions de groupes notamment). Et là, les ressources deviennent très ardues. Il y a très peu d'exemples j'ai l'impression pour illustrer de manière simple chaque notion.
Or j'aimerais trouver une ou des ressources qui expliquent ces notions de manière pédagogique, sans prendre de raccourcis.
Je pense que ces ressources qu'on trouve sur le net sont réalisés par des enseignants, et les étudiants complètent par des questions qu'ils peuvent poser en direct sur certains points, il y a des TD etc.
Mais si on veut travailler en autonomie, ces supports me semblent difficiles d'utilisation.
J'aimerais tellement comprendre ces notions, de façon à ce qu'elles me soient limpides.
Pouvez-vous me donner un sens à ces notions, avec vos propres mots, vos propres expériences ?
J'apprends beaucoup en vous lisant.
En vous remerciant.
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Réponses
Peut-être de m'orienter vers une ressource abordable.
Par exemple, j'utilise celle-ci : https://webusers.imj-prg.fr/~georges.skandalis/AlGenLin.pdf
Page 4, c'est une suite de définitions.
Mais cela ne m'apprend en rien ce qu'est fondamentalement une action de groupe. C'est vraiment quelque chose qui me résiste. Il faudrait que j'arrive à trouver le bon angle d'attaque. Je me suis rendu compte que ça ne servait à rien de rester à regarder des définitions sans que rien ne se passe.
Cf. ceci et dis-nous ce que tu ne comprends pas. Dans la source que tu proposes, il s'agit d'un "Rappel sur les opérations de groupes".
Cordialement,
Thierry
Dans un premier temps, on définit des actions à gauche, et des actions à droite.
Pourquoi ne définit-on pas simplement une action d'un groupe sur un ensemble ? Sans se soucier du côté où l'action s'applique.
Est-ce qu'il y a une quelque chose qui justifie cette distinction ?
Quant à te donner une idée intuitive de ce qu'est une action de groupe, loin d'un cours, je pense (c'est mon expérience personnelle) que le mot à retenir est "représentation": une action du groupe $G$ sur l'objet $X$ ("objet" à ne pas prendre au sens d'"ensemble": ça peut être une structure aussi exotique que voulu) c'est une manière de représenter $G$ comme un groupe d'isomorphismes (au sens dépendant du sens de "objet") de $X$: chaque élément de $G$ est "vu comme" un isomorphisme de $X$ par cette représentation, et la multiplication est vue comme la composition. Lorsque $X$ est juste un ensemble, isomorphisme c'est bijection et donc une action de groupe c'est ce que tu as dû lire. Lorsque $X$ est un espace vectoriel, isomorphisme c'est isomorphisme linéaire, et on retrouve la notion de "représentation linéaire"; etc. Ça va de la bête action de groupe à l'action des groupes de Galois.
Les qualificatifs de l'action (libre, fidèle, transitive ...) sont là pour caractériser à quel point ladite "représentation" est "vraiment" une vue de $G$ comme groupe d'isomorphismes, ou à quel point elle ne l'est pas. Je ne sais pas si ça aide, mais c'est comme ça que je le vois
Je n'ai pas bien compris ta remarque. Si G n'est pas un groupe abélien, on a $g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$ et on a $h\cdot (g\cdot x)=(hg)\cdot x$ qui sont différents, car gh et hg sont différents.
Mais je ne vois pas le lien avec les classes à droite ?
Il y a d'autres actions que tu connais ! N'importe quelle action triviale déjà (bon ce n'est pas très éclairant). Mais par exemple l'action de $GL(E)$ sur l'espace vectoriel $E$, ou encore la restriction de cette action à n'importe quel sous-groupe de $GL(E)$, ou encore l'action de $Aut(G)$ sur $G$ si $G$ est un groupe. Voilà tout un tas d'actions naturelles que tu as sûrement déjà croisées !
Par contre, comment $GL(E)$ agit sur $E$ ? En termes imagés, il lui fait quoi ? :-D
Edit : Je crois avoir ma réponse, enfin si je choisis E = $M_n(\mathbb{R})$. C'est l'action de similitude.
Le groupe $GL_n(\mathbb{R})$ agit sur $M_n(\mathbb{R})$ par :
pour tout P dans $GL_n(\mathbb{R})$ et toute matrice A dans $M_n(\mathbb{R})$ : P$\cdot$A = PAP-1.
Mais pour E quelconque, cela serait quoi ? Une conjugaison ?
Si $E$ est de dimension finie sur le corps $K$, alors $\text{GL}(E)$ est isomorphe à $\text{GL}_n(K)$, le groupe des matrices carrées d'ordre $n$ et inversibles à coefficients dans $K$. Dans ce cas, l'action d'une matrice $A$ sur un vecteur $x$ est donnée le produit matriciel : $A \cdot x = Ax$ ($Ax$ correspond bien à $f(x)$ si $A$ est la matrice qui représente $f$ dans la base qu'on a choisie pour l'isomorphisme entre $\text{GL}(E)$ et $\text{GL}_n(K)$).
Je n'aurais pas pensé. Mais il me semble que ce n'est pas spécifique à $GL(E)$ de pouvoir faire cette opération $f \cdot x = f(x)$, en choisissant f étant une application linéaire (pas forcément bijective) ? (C'est d'ailleurs pour cela que je n'y avais pas pensé, dans l'exemple que je donne sur la similitude, il est nécessaire que P soit inversible).
La philosophie de Klein était qu'une géométrie est la donnée d'une action de groupe.
Quel est le résultat que tu utilises ? Et qui te permet de déduire que c'est trivialement vrai ? (Pour moi, rien n'est trivial :-D).
Enfin, j'ai décodé cela ainsi : "Il s'agit d'une action de groupe car A est un sous-groupe du groupe des bijections de A".
Quelle est cette propriété ? Ou bien j'ai mal compris.
Car pour moi (pour le moment), pour montrer qu'on a une action de groupe, il y a deux assertions à vérifier, quand on a explicité l'opération.
Une action d'un groupe $G$ sur un ensemble $X$ c'est également équivalent à la donnée d'un morphisme $G \to \text{Bij}(X)$. (c'est plus ou moins le point de vue de Max). A une application $G \times X \to X$ tu peux associer une application $G \to \left( X \to X \right)$.
Ensuite, le groupe $\text{GL}_2(k)$ agit sur les droites de $k^2$ : l'image d'une droite par un automorphisme linéaire est une droite. Par exemple, si on prend $k = \mathbb{F}_2$, le groupe $\text{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ agit sur les droites de $\mathbb{F}_2^2$. Comme il n'y a que trois droites, ça te donne un morphisme $ \phi : \text{GL}_2(\mathbb{F}_2) \to \mathfrak{S}_3$.
Et comme un élément de $\text{GL}_2(k)$ qui fixe $3$ droites est forcément l'identité, le morphisme est injectif. Et c'est en fait un isomorphisme.
Tu peux même t'amuser a décrire les choses, en convenant de noter les droites par $\{ 0, 1 ,\infty \}$ au lieu de dire $d_1,d_2,d_3$. Pour une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ inversible, alors $\phi(M) := \left[ z \to \frac{az+b}{cz+d} \right]$ avec les conventions $1/0 = \infty$ et $1/\infty = 0$; Par exemple, $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on a $\phi(M) = \left[ z \to z+1\right]$ et la permutation est visible :
$$
\phi(M)(0) = 1 \qquad \phi(M)(1) =1 = 1+1 = 0 \qquad \phi(M)(\infty) = \infty
$$
Bref, $\phi(M) = (0,1)$.
Comme exercice, tu peux faire $\phi(M)$ avec $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Allez, après une bonne nuit de sommeil et avec un peu de fraîcheur, ça ira mieux
En fait, je pensais que c'était le théorème de Cayley qui était utilisé et énoncé.
Je crois que ce théorème dit des choses très profondes. Mais je ne pense pas le saisir entièrement et pleinement. Il y a une histoire de sous-groupe du groupe des bijections.
Tu portes bien ton pseudo :P
Je n'ai pas l'habitude de travailler sur des corps finis, j'ai plutôt croisé le groupe $\text{GL}_2(k)$ avec $k = \mathbb{R}$.
Pourrais-tu expliciter ces 3 droites dont tu parles et comment les obtiens-tu ? (Cela me permettra de comprendre la suite, et je suis sûr que c'est très intéressant).
cela ne veut pas dire que tous les corps finis se comportent comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$. Et que donc, connaître le fonctionnement de $\mathfrak{S}_n$ permet de comprendre tous les groupes finis ?
Enfin, je le comprends comme ça, mais j'en ai peut-être une lecture fausse.
(Pour moi, ce n'est pas évident à le visualiser).
Les théorèmes de Sylow sont une sorte de réciproque partielle du théorème de Lagrange ?
Le plan $k^2$ sur $k = \mathbb{F}_2$ à $4$ vecteurs $(0,0)$, $(0,1)$ $(1,0)$ et $(1,1)$. Une droite (vectorielle je n'ai pas précisé) c'est juste un espace vectoriel de dimension $1$ i;e engendré par $1$ vecteur non nul. Il n'y a pas trop le choix, tu vois ou je te fais un dessin ?
Dans le cas où c'est un corps fini $\mathbb{F}_p$, par exemple, c'est un peu plus complexe car deux vecteurs non égaux peuvent donner la même droite mais on peut faire quand même. (on peut faire des histoires d'actions si on veut).
Le théorème de Cayley est avant tout un résultat élémentaire, il n'a pas tellement de corollaires "profonds" mais il sert quand même. Il y a sûrement un rapport entre les représentations d'un groupe fini et les représentations de $\mathfrak{S}_n$ qui vient du théorème de Cayley... j'ai la flemme de ressortir mes cours.
Si je ne considère que les directions de ces droites, j'en vois 4.
D'où ma question.
(La figure me semble trop grande, je ne sais pas la réduire).
Mais fais attention car, il y a deux droites que tu as dessinées qui donnent la même droite vectorielle ! Celle que tu as notée $y =x$ et celle que tu as notée $y=x+1$. Même si sur le dessin tu as l'impression qu'elles se coupent !
EDIT : ça fait un moment que je voulais créer un fil sur ça, je ne l'ai jamais fait, je vais en profiter maintenant.
Cependant, je n'arrive pas à comprendre pourquoi les droites d'équation $y = x$ et $y = x + 1$ représentent la même droite vectorielle ?
Même en me disant qu'on travaille dans $k = \mathbb{F}_2$ ($0 \neq 1$)
Il y a un exercice classique (que j'ai fait en L3 et refait en M1) qui consiste à calculer le cardinal de $\text{GL}_n ( \mathbb{F}_q)$, je trouve qu'il aide un peu à appréhender ces fameux corps finis et les espaces vectoriels finis. Je pense qu'il ne devrait pas être trop dur de trouver un PDF avec un corrigé de cet exercice... je chercherai. Là c'est l'heure d'aller manger :-D
Un exercice en rapport avec ${\mathbb{F}_2}^2$ et les actions de groupes : montrer que le groupe des transformations linéaires inversibles de ${\mathbb{F}_2}^2$ est isomorphe au groupe des permutations de trois éléments.
1/ Montrer que l'action est transitive.
2/ Montrer que le stabilisateur de $e_1$ (le premier vecteur de la base canonique de $k^n$) est l'ensemble des matrices de la forme :
$$
\begin{pmatrix} 1 & u \\ 0 & A \end{pmatrix} \qquad \qquad u = (a_1,\dots,a_{n-1}) \in k^{n-1} \qquad A \in \text{GL}_{n-1}(k)
$$
3/ En déduire que :
$$
\# \text{GL}_n(k) = (p^{n}-1) \times \# \text{GL}_{n-1}(k) \times p^{n-1} \qquad \# \text{ c'est le cardinal}
$$
4/ En déduire le cardinal de $\text{GL}_n(k)$.
C'est fait dans le livre "Histoires hédonistes de groupes et de géométries" p.251 ... d'ailleurs ce livre utilise beaucoup d'actions de groupes.
Ps : Où ça, Champ-Pot ?
C'est une forme arbitraire que tu as choisie (pour montrer que les deux droites d'équations $y=x$ et $y = x + 1$ ne se coupent pas) ou bien est-ce réellement cette forme là (et donc se cachent encore des chosent que je ne soupçonne pas) ?
Une droite est un ensemble de points, déterminé par deux points distincts. Tu as vu que ${\mathbb{F}_2}^2$ est un ensemble à 4 éléments, donc il y a 4 points (et rien d'autre) dans le plan. Deux points distincts définissent une droite.
Cordialement.
@Rietveld : C'est moi qui ai fait ce dessin, pas moduloP. C'était pour dire que la "forme" du dessin de la droite n'a aucune importance, ça pourrait être un arc de cercle ou n'importe quoi d'autre. Ce qui est important est par quels points de ${\mathbb{F}_2}^2$ le trait passe. Rien ne se cache derrière ça.
J'imagine que tu plaisantes, non ?
En fait c'est très trompeur d'utiliser le plan réel comme support de représentation.
(C'est la première fois que je suis confronté à ces considérations).