Une inégalité

Hmmm...Au temps pour moi, je me suis embrouillé dans le sens de l'inégalité.
Bon, pas grave, on peut alors faire comme suit :

Puisque l'inégalité cherchée est homogène, on peut poser $a+b+c=1$.

Il s'agit alors de prouver que $\dfrac{(1-2a)^2}{a^2+(1-a)^2} + \dfrac{(1-2b)^2}{b^2+(1-b)^2} + \dfrac{(1-2c)^2}{c^2+(1-c)^2} \geq \dfrac 3 5$,
ou encore que $\dfrac{1}{2a^2-2a+1}+\dfrac{1}{2b^2-2b+1}+\dfrac{1}{2c^2-2c+1} \leq \dfrac{27}{5}$. (1)

Or, on vérifie facilement que $\dfrac{1}{2a^2-2a+1}-(\dfrac{54}{25}a+\dfrac{27}{25} )= -\dfrac{2(3a-1)^2(6a+1)}{25(2a^2-2a+1)} \leq 0$.
Par suite $\dfrac{1}{2a^2-2a+1} \leq \dfrac{54}{25}a+\dfrac{27}{25}$, et on a bien sûr des relations analogues pour $b$ et $c$.
En sommant ces trois relations, et puisque $a+b+c=1$, il vient directement (1).

Pour info, l'expression $y=\dfrac{54}{25}a+\dfrac{27}{25}$ n'est que l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f:x \longmapsto \dfrac{1}{2x^2-2x+1}$ au point d'abscisse $\dfrac 1 3$.

Pierre.