Algèbre élément neutre

Mickael Cedric
Mickael Cedric
dans Algèbre
Bonjour!
Svp pour quoi dit-on que l'élément neutre d'une loi de composition interne est unique.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Parce que c'est un théorème, que je t'engage à démontrer (facile à partir de la définition d'élément neutre). Pour commencer, peux-tu rappeler cette définition ?
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    Soit E un ensemble non vide , un element a appartenant à E muni de la loi * est dit élément neutre si pour tout élement x appartenant à E , on : a*x=x et x*a=x
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Très bien. Maintenant tu peux montrer qu'une loi de composition interne ne peut avoir qu'un seul élément neutre : à savoir que si $a$ et $b$ sont des éléments neutres pour $\ast$, alors $a=b$.
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    Ah oui je vois parce que si a et b sont deux éléments neutres, on à toujours le même résultat escompté donc [on] en déduit que a=b ?
  • Dom
    Dom
    Cela peut ne pas convaincre le correcteur de la copie...mais encore ?
    Une ou deux lignes peuvent clore les débats ;-)
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    Je ne vois pas du tout.
  • Dom
    Dom
    Supposons que $a$ et $b$ soient des éléments neutres pour la loi $\ast$.

    Alors, par définition on a :

    a) ...

    b) ...
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    a) a*x=x et x*a=x
    b) b*x=x et x*b=x
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonjour,

    @Mickael Cedric ; Ecris des identités plus simples sans faire intervenir d'autres lettres (ou variables) autres que $a$ et $b$.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu tournes en rond là, Mickaël Cedric.
    Voyons les acteurs de l'histoire : un ensemble $E$ muni d'une lci $\ast$ et deux éléments neutres $a$ et $b$. Que peut on faire avec ces acteurs pour en sortir quelque chose ? Calculer $a\ast b$ ?
  • Dom
    Dom
    ...puisque les égalités que tu as écrites sont valables quels que soient les éléments de l'ensemble...
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    @GaBuZoMeu donc , si l'on fait le produit a*b , on aura toujours comme résultat a et b , car les deux sont des éléments neutre de E d'ou l'unicité de l'élément neutre je crois bien.
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    oui je vois @Dom
  • Dom
    Dom
    Oui, c'est cela, je récris en insistant sur les quantificateurs :

    a)

    $\forall x \in E \qquad a*x=x\qquad$ et $\qquad x*a=x$

    Donc en particulier pour $x=b$,

    ${\color{blue}{a*b=b}}\qquad$ et $ \qquad b*a=b $

    b)

    $\forall x \in E \qquad b*x=x\qquad $ et $\qquad x*b=x $

    Donc en particulier pour $x=a$,

    $b*a=a\qquad$ et $\qquad {\color{blue}{a*b=a}}$

    c)

    Les égalités bleues montrent que $a=b$.

    Remarque : c'est certainement un peu lourd mais bon.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    En plus léger et suite à ceci, il vient immédiatement que\[a=a\,b=b\,a=b\]
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    @Dom ça me va avec cette démonstration.
    Merci Cordialement ,
    Mickael
  • Mickael Cedric
    Mickael Cedric
    Merci @Thierry
  • Archimède
    Archimède
    Thierry POMA a écrit:
    En plus léger et suite à ceci, il vient immédiatement que $a=ab=ba=b$

    Sauf que dans cette preuve rapide $ab=ba$ n'est pas prouvé...
    En fait $a=ab=b$.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... si e est élément neutre, pour tout x du groupe, ex=xe.

    Cordialement.

    NB : C'est vrai que $ba$ n'est là que pour échanger les rôles.
  • Archimède
    Archimède
    Oui, $xe=x=ex$.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Archimède : Bonjour. Supposons que $a$ et $b$ soient des éléments neutres de $\text{E}$ pour la loi $\ast$. Alors, d'une part $b=a\ast{b}=b\ast{a}$ vu que $a$ est élément neutre de $\text{E}$ pour la loi $\ast$ ; d'autre part, $a=a\ast{b}=b\ast{a}$ vu que $b$ est élément neutre de $\text{E}$ pour la loi $\ast$. Ce faisant\
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Dom
    Dom
    Ces preuves en une ligne sont souvent possibles en Algèbre.
    L'important est de savoir ce que se cache sous chaque "=" : une définition ou une propriété.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Mouais, l'étape $a\ast b= b\ast a$ ne sert absolument à rien. C'est juste
    $$a=_1 a\ast b =_2 b\;,$$
    $=_1$ puisque $b$ est élément neutre (à gauche) (à droite),
    $=_2$ puisque $a$ est élément neutre (à droite) (à gauche).
    Cet argument montre en fait que si $\ast$ possède un élément neutre à droite et un élément neutre à gauche, alors ces éléments sont égaux, et il s'agit de l'unique élément neutre de $\ast$ - tout court.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 20

CidrolinFoysgai requinjelobreuilkolotoko +15 Invités