Algèbre élément neutre
dans Algèbre
Bonjour!
Svp pour quoi dit-on que l'élément neutre d'une loi de composition interne est unique.
Svp pour quoi dit-on que l'élément neutre d'une loi de composition interne est unique.
Réponses
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Parce que c'est un théorème, que je t'engage à démontrer (facile à partir de la définition d'élément neutre). Pour commencer, peux-tu rappeler cette définition ?
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Soit E un ensemble non vide , un element a appartenant à E muni de la loi * est dit élément neutre si pour tout élement x appartenant à E , on : a*x=x et x*a=x
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Très bien. Maintenant tu peux montrer qu'une loi de composition interne ne peut avoir qu'un seul élément neutre : à savoir que si $a$ et $b$ sont des éléments neutres pour $\ast$, alors $a=b$.
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Ah oui je vois parce que si a et b sont deux éléments neutres, on à toujours le même résultat escompté donc [on] en déduit que a=b ?
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Cela peut ne pas convaincre le correcteur de la copie...mais encore ?
Une ou deux lignes peuvent clore les débats ;-) -
Je ne vois pas du tout.
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Supposons que $a$ et $b$ soient des éléments neutres pour la loi $\ast$.
Alors, par définition on a :
a) ...
b) ... -
a) a*x=x et x*a=x
b) b*x=x et x*b=x -
Bonjour,
@Mickael Cedric ; Ecris des identités plus simples sans faire intervenir d'autres lettres (ou variables) autres que $a$ et $b$.
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Tu tournes en rond là, Mickaël Cedric.
Voyons les acteurs de l'histoire : un ensemble $E$ muni d'une lci $\ast$ et deux éléments neutres $a$ et $b$. Que peut on faire avec ces acteurs pour en sortir quelque chose ? Calculer $a\ast b$ ? -
...puisque les égalités que tu as écrites sont valables quels que soient les éléments de l'ensemble...
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@GaBuZoMeu donc , si l'on fait le produit a*b , on aura toujours comme résultat a et b , car les deux sont des éléments neutre de E d'ou l'unicité de l'élément neutre je crois bien.
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oui je vois @Dom
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Oui, c'est cela, je récris en insistant sur les quantificateurs :
a)
$\forall x \in E \qquad a*x=x\qquad$ et $\qquad x*a=x$
Donc en particulier pour $x=b$,
${\color{blue}{a*b=b}}\qquad$ et $ \qquad b*a=b $
b)
$\forall x \in E \qquad b*x=x\qquad $ et $\qquad x*b=x $
Donc en particulier pour $x=a$,
$b*a=a\qquad$ et $\qquad {\color{blue}{a*b=a}}$
c)
Les égalités bleues montrent que $a=b$.
Remarque : c'est certainement un peu lourd mais bon. -
En plus léger et suite à ceci, il vient immédiatement que\[a=a\,b=b\,a=b\]Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Merci @Thierry
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Thierry POMA a écrit:En plus léger et suite à ceci, il vient immédiatement que $a=ab=ba=b$
Sauf que dans cette preuve rapide $ab=ba$ n'est pas prouvé...
En fait $a=ab=b$. -
Heu ... si e est élément neutre, pour tout x du groupe, ex=xe.
Cordialement.
NB : C'est vrai que $ba$ n'est là que pour échanger les rôles. -
Oui, $xe=x=ex$.
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@Archimède : Bonjour. Supposons que $a$ et $b$ soient des éléments neutres de $\text{E}$ pour la loi $\ast$. Alors, d'une part $b=a\ast{b}=b\ast{a}$ vu que $a$ est élément neutre de $\text{E}$ pour la loi $\ast$ ; d'autre part, $a=a\ast{b}=b\ast{a}$ vu que $b$ est élément neutre de $\text{E}$ pour la loi $\ast$. Ce faisant\Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Ces preuves en une ligne sont souvent possibles en Algèbre.
L'important est de savoir ce que se cache sous chaque "=" : une définition ou une propriété. -
Mouais, l'étape $a\ast b= b\ast a$ ne sert absolument à rien. C'est juste
$$a=_1 a\ast b =_2 b\;,$$
$=_1$ puisque $b$ est élément neutre (à gauche) (à droite),
$=_2$ puisque $a$ est élément neutre (à droite) (à gauche).
Cet argument montre en fait que si $\ast$ possède un élément neutre à droite et un élément neutre à gauche, alors ces éléments sont égaux, et il s'agit de l'unique élément neutre de $\ast$ - tout court.
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