Polynôme et idéal

Salut,

Soit $\mathbf A$ un anneau intègre et $(A,B)\in\mathbf A[X]^2$. On note $U(A)$ le groupe des inversibles de $A$. Je sais que $U(\mathbf A[X])=U(A)$ et que $\mathbf A[X]$ est intègre. Je ne parviens toutefois pas à montrer entièrement les équivalences suivantes :

1) $A$ et $B$ se divisent mutuellement ;
2) Les idéaux $(A)$ et $(B)$ sont égaux ;
3) Il existe $\lambda\in U(A), B=\lambda A$.

Pour 1) $\iff$ 2), pas de problème. Même chose pour 3) $\implies$ 1). Mais je n'arrive pas à montrer que 1) $\implies$ 3). Je pense qu'un truc m'échappe sur l'intégrité :

Supposons 1). Il existe alors $(U,V)\in\mathbf A[X]^2$ tel que $B=AU$ et $A=BV$. Donc $A=AUV$. Il reste donc à montrer que $UV\in U(A)$. Si $A=0$ alors c'est facile car $B=0$ donc on peut prendre $\lambda=1_K$. Supposons $A\neq 0$. Alors comme $\mathbf A[X]$ est intègre, $UV$ n'est pas un diviseur de $0$, mais je ne sais pas ce qui me permettrait de dire que $UV=1_K$ (ce qui permettrait de poser $\lambda=u\in U(A)$).