Pgcd de deux polynômes
Salut,
J'essaie de vérifier la cohérence de la définition ci-dessous mais il me manque les deux bouts en rouge.
Définition. Soit $\mathbf K$ un corps, $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbf K[X]$ dont l'un au moins est non nul et $P\in\mathbf K[X]$. On dit que $P$ est un PGCD de $A$ et $B$ s'il vérifie les assertions équivalentes suivantes :
1) $P$ divise $A$ et $B$ et est de degré supérieur à tout polynôme divisant $A$ et $B$ ;
2) $P$ divise $A$ et $B$ et tout polynôme divisant $A$ et $B$ divise $P$ ;
3) $(P)=(A)+(B)$.
Preuve. Quitte à échanger $A$ et $B$, on peut supposer $B\neq 0$.
1) $\implies$ 2). Supposons 1). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Il existe $(A'',B'')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=QA''$ et $B=QB''$. Donc $PA'=QA''$ et $PB'=QB''$. Je ne sais pas comment obtenir que $Q$ divise $P$ en utilisant $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$. J'ai pensé utiliser la division euclidienne de $P$ par $Q\neq 0$ et montrer que le reste est nul, en vain : $P=QQ'+R'$ avec $\text{deg}(R')<\text{deg}(Q)$, ensuite je ne sais pas quoi faire avec toutes les égalités précédentes...
2) $\implies$ 3). Supposons 2). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$.
Soit $X\in (A)+(B)$. Il existe $(Q,R)\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $X=AQ+BR=PA'Q+PB'R\in (P)$. Donc $(A)+(B)\subset (P)$.
Mais je bloque pour l'autre inclusion :
Soit $X\in (P)$. Il existe $Q\in\mathbf K[X]$ tel que $X=PQ$...
3) $\implies$ 1). Supposons 3). Comme $A=A+0\in (A)+(B)$, on a $A\in (P)$ donc il existe $A'\in\mathbf K[X]$ tel que $A=PA'$ donc $P$ divise $A$. De même, $B$ divise $P$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Alors $Q$ divise en particulier $B$ donc il existe $B'\in\mathbf K[X]$ tel que $B=QB'$. Comme $\text{deg}(B)=\text{deg}(Q)+\text{deg}(B')$ et qu'aucun de ces termes ne vaut $-\infty$ (car $B\neq 0$), il vient $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(B)$. Or on a aussi $\text{deg}(B)\leq\text{deg}(P)$ (car $P$ divise $B\neq 0$). D'où $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$.
J'essaie de vérifier la cohérence de la définition ci-dessous mais il me manque les deux bouts en rouge.
Définition. Soit $\mathbf K$ un corps, $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbf K[X]$ dont l'un au moins est non nul et $P\in\mathbf K[X]$. On dit que $P$ est un PGCD de $A$ et $B$ s'il vérifie les assertions équivalentes suivantes :
1) $P$ divise $A$ et $B$ et est de degré supérieur à tout polynôme divisant $A$ et $B$ ;
2) $P$ divise $A$ et $B$ et tout polynôme divisant $A$ et $B$ divise $P$ ;
3) $(P)=(A)+(B)$.
Preuve. Quitte à échanger $A$ et $B$, on peut supposer $B\neq 0$.
1) $\implies$ 2). Supposons 1). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Il existe $(A'',B'')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=QA''$ et $B=QB''$. Donc $PA'=QA''$ et $PB'=QB''$. Je ne sais pas comment obtenir que $Q$ divise $P$ en utilisant $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$. J'ai pensé utiliser la division euclidienne de $P$ par $Q\neq 0$ et montrer que le reste est nul, en vain : $P=QQ'+R'$ avec $\text{deg}(R')<\text{deg}(Q)$, ensuite je ne sais pas quoi faire avec toutes les égalités précédentes...
2) $\implies$ 3). Supposons 2). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$.
Soit $X\in (A)+(B)$. Il existe $(Q,R)\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $X=AQ+BR=PA'Q+PB'R\in (P)$. Donc $(A)+(B)\subset (P)$.
Mais je bloque pour l'autre inclusion :
Soit $X\in (P)$. Il existe $Q\in\mathbf K[X]$ tel que $X=PQ$...
3) $\implies$ 1). Supposons 3). Comme $A=A+0\in (A)+(B)$, on a $A\in (P)$ donc il existe $A'\in\mathbf K[X]$ tel que $A=PA'$ donc $P$ divise $A$. De même, $B$ divise $P$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Alors $Q$ divise en particulier $B$ donc il existe $B'\in\mathbf K[X]$ tel que $B=QB'$. Comme $\text{deg}(B)=\text{deg}(Q)+\text{deg}(B')$ et qu'aucun de ces termes ne vaut $-\infty$ (car $B\neq 0$), il vient $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(B)$. Or on a aussi $\text{deg}(B)\leq\text{deg}(P)$ (car $P$ divise $B\neq 0$). D'où $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$.
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Réponses
3) $\implies$ 2). Supposons 3). $A=A+0\in (A)+(B)=(P)$ donc $P$ divise $A$ et de même $P$ divise $B$. Si $Q\in\mathbf K[X]$ divise $A$ et $B$ alors $(A)\subset (Q)$ et $(B)\subset (Q)$ donc $(A)+(B)=(P)\subset (Q)$. donc $Q$ divise $P$. D'où 2).
2) $\implies$ 1). Supposons 2). Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Alors par hypothèse, $Q$ divise $P$. Donc il existe $U\in\mathbf K[X]$ tel que $P=QU$. Donc $\text{deg}(P)=\text{deg}(Q)+\text{deg}(U)$. Les quantités étant distinctes de $-\infty$, il vient $\text{deg}(P)\geq\text{deg}(Q)$. D'où 1).
1) $\implies$ 3). Supposons 1). Alors $(A)\subset (P)$ et $(B)\subset (P)$ donc $(A)+(B)\subset (P)$. De plus, si $X\in (P)$, il existe $U\in\mathbf K[X]$ tel que $X=PU$. Comment faire pour montrer que $X\in (A)+(B)$ ?
sans oublier que $(A)+(B)$ est un idéal principal de $\Bbb{K}[\mbox{X}]$.
Cordialement,
Thierry
Mais pourquoi $(P)\subset (D)$ ?
À part ça, je ne vois vraiment pas où tu as démontré $(D)\subset (P)$ dans ce que tu as écrit.
Sinon j'ai montré que $(A)+(B)\subset (P)$ juste au-dessus de ma précédente ligne rouge plus haut.
Je suis surpris par ton blocage sur le dernier petit point. Fais un pas de côté, tu verras peut-être mieux et tu te diras "Bon sang, mais c'était idiot !". ;-)