Pgcd de deux polynômes

Salut,

J'essaie de vérifier la cohérence de la définition ci-dessous mais il me manque les deux bouts en rouge.

Définition. Soit $\mathbf K$ un corps, $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbf K[X]$ dont l'un au moins est non nul et $P\in\mathbf K[X]$. On dit que $P$ est un PGCD de $A$ et $B$ s'il vérifie les assertions équivalentes suivantes :
1) $P$ divise $A$ et $B$ et est de degré supérieur à tout polynôme divisant $A$ et $B$ ;
2) $P$ divise $A$ et $B$ et tout polynôme divisant $A$ et $B$ divise $P$ ;
3) $(P)=(A)+(B)$.

Preuve. Quitte à échanger $A$ et $B$, on peut supposer $B\neq 0$.

1) $\implies$ 2). Supposons 1). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Il existe $(A'',B'')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=QA''$ et $B=QB''$. Donc $PA'=QA''$ et $PB'=QB''$. Je ne sais pas comment obtenir que $Q$ divise $P$ en utilisant $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$. J'ai pensé utiliser la division euclidienne de $P$ par $Q\neq 0$ et montrer que le reste est nul, en vain : $P=QQ'+R'$ avec $\text{deg}(R')<\text{deg}(Q)$, ensuite je ne sais pas quoi faire avec toutes les égalités précédentes...

2) $\implies$ 3). Supposons 2). Il existe $(A',B')\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $A=PA'$ et $B=PB'$.
Soit $X\in (A)+(B)$. Il existe $(Q,R)\in(\mathbf K[X])^2$ tel que $X=AQ+BR=PA'Q+PB'R\in (P)$. Donc $(A)+(B)\subset (P)$.
Mais je bloque pour l'autre inclusion :
Soit $X\in (P)$. Il existe $Q\in\mathbf K[X]$ tel que $X=PQ$...

3) $\implies$ 1). Supposons 3). Comme $A=A+0\in (A)+(B)$, on a $A\in (P)$ donc il existe $A'\in\mathbf K[X]$ tel que $A=PA'$ donc $P$ divise $A$. De même, $B$ divise $P$. Soit $Q\in\mathbf K[X]$ divisant $A$ et $B$. Alors $Q$ divise en particulier $B$ donc il existe $B'\in\mathbf K[X]$ tel que $B=QB'$. Comme $\text{deg}(B)=\text{deg}(Q)+\text{deg}(B')$ et qu'aucun de ces termes ne vaut $-\infty$ (car $B\neq 0$), il vient $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(B)$. Or on a aussi $\text{deg}(B)\leq\text{deg}(P)$ (car $P$ divise $B\neq 0$). D'où $\text{deg}(Q)\leq\text{deg}(P)$.