Salut est-ce que quelqu'un peut m'aider svp car je bloque sur cet énoncé. J'ai pensé à résoudre cette équation $AX=XA$ d'inconnue $X$ dans $M_{3}(K)$ mais il me semble que les calculs sont très compliqués ce qui n'est pas le cas dans $M_{2}(K)$.
Je pense qu'il est attendu un "gros calcul" pour le 1…
Mais si tu veux, tu peux chercher une autre matrice plus simple (avec plus de 0, pour simplifier les calculs) telle que $X \in \mathcal{M}_3(K)$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec cette autre matrice.
@lesmathspointclaires : Je m'étais dit que ça pouvait l'aider de manière visuelle en se disant qu'elle devait montrer que $b$ et $c$ sont nuls, que $d$ vaut $3e - 3a$, etc dans sa résolution, car ce sont ces points qu'elle n'a pas du voir lors de sa résolution.
Je pense qu'il ne faut pas aller trop vite, toutes sortes de personnes se croisent ici (des novices aux très expérimentés).
Sinon, en elle-même, en balayant ces considérations pédagogiques, elle ne sert strictement à rien.
Alors, on prend
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
$A$ commute avec $A$ mais $A$ ne commute pas avec $B$. normalement ca doit être un contre !
Ah oui je comprends ton insistance :-D, tu voulais prouver au monde que j'ai bien dit une belle connerie et à l'appui un contre exemple :-D
gebrane confesse à moduloP j'ai bien dit une connerie
Si on écrit $A=I_3+B$ alors une matrice qui commente avec $A$ commute avec $B$ et vice versa. La matrice $B$ contient plus de $0$ et les calculs sont plus rapides...
Si $A$ est diagonale avec ses valeurs propres deux a deux distinctes l'equation $AX-XA=0$ se resout facilement. Et ton probleme initial se ramene a ce cas.
Je viens de te lire. Pas de tout , je te rassure le pseudo
gebr ane n'a aucun rapport avec l’algèbre sinon ça voudra dire qu'en algèbre gebr ane est un ...
Réponses
Mais si tu veux, tu peux chercher une autre matrice plus simple (avec plus de 0, pour simplifier les calculs) telle que $X \in \mathcal{M}_3(K)$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec cette autre matrice.
X commute avec D si et seulement si PXP^{-1} commute avec A
Merci moduloP pour cet egarement
a & b &c \\
d & e & f\\
g & h & i
\end{pmatrix}
Les matrices recherchées sont de la forme :
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
3e-3a & e & f\\
3f & f & e+f
\end{pmatrix}
Je te laisse faire les calculs, tu as la réponse (mais je t'avoue que ce n'est pas très passionnant comme exercice).
Je pense qu'il ne faut pas aller trop vite, toutes sortes de personnes se croisent ici (des novices aux très expérimentés).
Sinon, en elle-même, en balayant ces considérations pédagogiques, elle ne sert strictement à rien.
$$
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
$A$ commute avec $A$ mais $A$ ne commute pas avec $B$. normalement ca doit être un contre !
gebrane confesse à moduloP j'ai bien dit une connerie
Si on écrit $A=I_3+B$ alors une matrice qui commente avec $A$ commute avec $B$ et vice versa. La matrice $B$ contient plus de $0$ et les calculs sont plus rapides...
Je viens de te lire. Pas de tout , je te rassure le pseudo
gebr ane n'a aucun rapport avec l’algèbre sinon ça voudra dire qu'en algèbre gebr ane est un ...
-- Schnoebelen, Philippe