Module d'une $1$-forme différentielle

Cyrano · August 2018

Bonjour.

Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension $1$
Si $u \in \mathcal{O}(V)$ est une fonction holomorphe (à valeurs dans $\C$), le module de $u$ est parfaitement défini. Il s'agit de la fonction $z\in V \mapsto |u(z)| \in \R^+.$
J'aimerais savoir s'il existe une définition intrinsèque du module d'une $1$-forme holomorphe $\omega \in \Omega^{1}(V).$ On peut évidemment se ramener aux fonctions en choisissant une mesure de Haar $dz$ mais ça ne me convient pas vraiment.

Merci pour toute aide/référence.

Champ-Pot-Lion · August 2018

C'est bien défini, le module de cette $1$-forme ? Ce n'est pas défini à un facteur constant près ?
Ici $\omega$ pris en un point peut être vu comme une forme linéaire sur $V$, et ensuite sa norme dépend de quels vecteurs de $V$ doivent avoir la norme $1$. Mais je dois manquer quelque chose.

Cyrano · August 2018

Oui en effet, si je change l'identification entre les formes et les fonctions, le module change à une constante près.

Bref peu d'espoir d'avoir une définition intrinsèque du module sur les formes qui soit cohérent avec celui sur les fonctions.

Cyrano · August 2018

Tant qu'à faire, je pose une autre question basique pour ne pas créer de multiples fils.

On est d'accord que si je prends une norme sur $V$ et que je note $C(0,R)$ le cercle de rayon $R$ associé à cette norme, alors pour toute mesure de Haar $dz$ sur $V$ il existe une constante positive $A$ telle que $$ \int_{C(0,R)^+} dz = AR\quad?$$

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