Module d'une $1$-forme différentielle
Bonjour.
Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension $1$
Si $u \in \mathcal{O}(V)$ est une fonction holomorphe (à valeurs dans $\C$), le module de $u$ est parfaitement défini. Il s'agit de la fonction $z\in V \mapsto |u(z)| \in \R^+.$
J'aimerais savoir s'il existe une définition intrinsèque du module d'une $1$-forme holomorphe $\omega \in \Omega^{1}(V).$ On peut évidemment se ramener aux fonctions en choisissant une mesure de Haar $dz$ mais ça ne me convient pas vraiment.
Merci pour toute aide/référence.
Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension $1$
Si $u \in \mathcal{O}(V)$ est une fonction holomorphe (à valeurs dans $\C$), le module de $u$ est parfaitement défini. Il s'agit de la fonction $z\in V \mapsto |u(z)| \in \R^+.$
J'aimerais savoir s'il existe une définition intrinsèque du module d'une $1$-forme holomorphe $\omega \in \Omega^{1}(V).$ On peut évidemment se ramener aux fonctions en choisissant une mesure de Haar $dz$ mais ça ne me convient pas vraiment.
Merci pour toute aide/référence.
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Réponses
Ici $\omega$ pris en un point peut être vu comme une forme linéaire sur $V$, et ensuite sa norme dépend de quels vecteurs de $V$ doivent avoir la norme $1$. Mais je dois manquer quelque chose.
Bref peu d'espoir d'avoir une définition intrinsèque du module sur les formes qui soit cohérent avec celui sur les fonctions.
On est d'accord que si je prends une norme sur $V$ et que je note $C(0,R)$ le cercle de rayon $R$ associé à cette norme, alors pour toute mesure de Haar $dz$ sur $V$ il existe une constante positive $A$ telle que $$ \int_{C(0,R)^+} dz = AR\quad?$$