Somme de carrés et morphisme
Bonjour,
Soit $K$ un corps qui est une extension algébrique de $\Q$. On suppose que pour toute famille finie $x_1, \dots , x_n$ d'éléments de $K$, on a $x_1^2+\dots+x_n^2+1 \neq 0$ ($n$ n'est pas fixé). Je sais alors que l'on peut mettre un ordre total sur $K$, qui en fait un corps ordonné.
Existe-t-il nécessairement un morphisme de $K$ dans $\R$ ?
Merci d'avance.
Soit $K$ un corps qui est une extension algébrique de $\Q$. On suppose que pour toute famille finie $x_1, \dots , x_n$ d'éléments de $K$, on a $x_1^2+\dots+x_n^2+1 \neq 0$ ($n$ n'est pas fixé). Je sais alors que l'on peut mettre un ordre total sur $K$, qui en fait un corps ordonné.
Existe-t-il nécessairement un morphisme de $K$ dans $\R$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
J'aimerais réussir à formaliser l'idée que le polynôme annulateur d'un élément de $K$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et donc que le corps est archimédien; mais j'ai des problèmes à relier le module sur $\C$ à l'ordre sur $K$...
Dans l'énoncé de ce théorème, "corps réel" signifie que $-1$ n'est pas somme de carrés et "extension absolument algébrique" signifie extension algébrique sur son sous-corps premier.
Dans ce cas voilà une preuve (qui n'utilise pas le travail préliminaire de l'article partagé par gai requin): soit $K,L$ tels que dans le message de GBZM; je note $|-|$ la valeur absolue sur $L$ (définie par $|x| = x$ si $x\geq 0$, $-x$ sinon). On vérifie tout plein de lemmes (genre inégalité triangulaire) sur $|-|$ comme dans $\R$: par disjonction de cas.
Soit alors $\zeta\in L$, $\zeta >0$, $P$ un polynôme unitaire à coefficients dans $K$ annulant $\zeta$.J'écris $P=X^n(1+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kX^{-k})$.
Pour $x\in L, x>0$, on a $ |\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kx^{-k}| \leq \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|x^{-k}$ (inégalité triangulaire). Pour $x>2n \max_k |a_k|$, on a $\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|x^{-k} < \frac{1}{2}$ (dans un corps ordonné, $y\mapsto y^{-1}$ est décroissante sur les positifs, et $y\mapsto y^k$ est croissante sur les positifs), et donc $|1+\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kx^{-k}| \geq 1 - |\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kx^{-k}| \geq 1- \displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|x^{-k} > 1-\frac{1}{2} > 0$. En particulier pour $x=\zeta$, on obtient $\zeta \leq 2n \max_k |a_k|$