Corps ordonné et automorphisme

Merci Maxtimax !

@GaBuZoMeu: je pense que l'on raisonne comme cela:
il n'y a qu'un seul ordre sur $\R$, car tout réel positif pour l'ordre usuel
est un carré, donc positif pour tout ordre.

1) Soit deux ordres $\leq_1$ et $\leq_2$ sur $\R(X)$. Si $X$ est supérieur à tout réel pour $\leq_1$ et si $X$ est supérieur à tout réel pour $\leq_2$, alors $\leq_1=\leq_2$.
En effet, $0 \leq_1 P(X)/Q(X) \iff 0 \leq_1 P(X)Q(X) \iff 0 \leq_1 p_mq_n$ (où $m$ est le degré de $P$ et $n$ le degré de $Q$), donc $\iff 0 \leq_2 p_m q_n \iff 0 \leq_2 P(X)/Q(X)$.

2) si il existe $a,b \in \R$, tel que $a< X< b$, alors on considère la suite définie par $a_0=a, b_0=b$, et $a_{n+1}=a_n$ si $(a_n+b_n)/2>X$, et $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$ sinon. Et l'inverse pour $b_{n+1}$.
On a alors $b_n-a_n$ qui tend vers $0$ et $a_n<X<b_n$ pour tout $n$. Soit $c$ la limite commune de $a_n$ et $b_n$ dans $\R$, alors si $c<X$, $X-c>0$, donc $1/(X-c)>0$. Alors, si $1/(X-c)<d$ avec $d\in \R$ que l'on peut supposer strictement positif, $1<d(X-c)$ or $X<c+1/(2d)$, car $X<c+\epsilon $ pour tout $\epsilon>0$ réel. Donc $1< 1/2$, contradiction. Donc $1/(X-c)$ est supérieur à tout réel. Et $Q(X) \mapsto Q(1/(X-c))$ est un automorphisme de $\R(X)$.

[Ce n'est pas fini]