Matrice symétrique diagonalisable
Bonjour,
Soit $K$ un corps.
Est-il vrai que $K$ peut être muni d'un ordre total qui en fait un corps ordonné, si et seulement si, pour tout $n \in \N^*$, toute matrice symétrique $n \times n$ à coefficients dans $K$ est diagonalisable dans une extension de $K$ ?
Comment montrer l'implication $\implies$ ?
Peut-être, il faut définir un produit scalaire sur $K^n$ et l'étendre en un produit hermitien sur $\overline{K}^n$, et raisonner comme pour $\R^n$ par rapport à $\C^n$ ?
Pour la réciproque, si $K$ n'est pas ordonnable, il existe $x_1, \dots, x_n \in K$, tels que $x_1^2+\dots+x_n^2+1=0$.
Soit alors la matrice $$M=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n & 1 \end{pmatrix}$$
Elle vérifie $M^2=0$, donc $M$ est nilpotente, donc toutes ses valeurs propres sont nulles, donc, si elle est diagonalisable, $M=0$, or $M \neq 0$, donc $M$ est non diagonalisable et symétrique.
Merci d'avance.
Soit $K$ un corps.
Est-il vrai que $K$ peut être muni d'un ordre total qui en fait un corps ordonné, si et seulement si, pour tout $n \in \N^*$, toute matrice symétrique $n \times n$ à coefficients dans $K$ est diagonalisable dans une extension de $K$ ?
Comment montrer l'implication $\implies$ ?
Peut-être, il faut définir un produit scalaire sur $K^n$ et l'étendre en un produit hermitien sur $\overline{K}^n$, et raisonner comme pour $\R^n$ par rapport à $\C^n$ ?
Pour la réciproque, si $K$ n'est pas ordonnable, il existe $x_1, \dots, x_n \in K$, tels que $x_1^2+\dots+x_n^2+1=0$.
Soit alors la matrice $$M=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n & 1 \end{pmatrix}$$
Elle vérifie $M^2=0$, donc $M$ est nilpotente, donc toutes ses valeurs propres sont nulles, donc, si elle est diagonalisable, $M=0$, or $M \neq 0$, donc $M$ est non diagonalisable et symétrique.
Merci d'avance.
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Réponses
Donc, pour toute matrice symétrique $M$ sur un corps formellement réel $K$ il existe une extension algébrique finie $L$ de $K$ sur laquelle $M$ est diagonalisable.
[message croisé]
Merci GaBuZoMeu !