Stabilité de notions par extension de corps

Salut,

Je sais que si $\mathbf K\subset\mathbf L$ sont des corps, $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbf K[X]$ dont l'un au moins est non nul (pour que le PGCD existe), si on note $D_K$ (respectivement $D_L$) le PGCD de $A$ et $B$ dans $\mathbf K[X]$ (respectivement dans $\mathbf L [X]$) alors $D_K=D_L$. Donc le PGCD est inchangé par extension de corps.

Pour information, voici ma preuve :
[small]Comme $D_K$ divise $A$ et $B$, il existe $(P,Q)\in\mathbf K[X]^2$ tel que $A=D_K P$ et $B=D_K Q$. On peut écrire dans $\mathbf K (X)$ que $P\wedge Q=\frac{A\wedge B}{D_K}=1$ i.e. $P$ et $Q$ premiers dans $\mathbf K[X]$ donc d'après le théorème de Bézout, il existe $(U,V)\in\mathbf K[X]^2$ tel que $UP+VQ=1$. Notant $j:\mathbf K[X]\rightarrow\mathbf L[X]$ l'injection canonique qui est un morphisme d'anneaux, il vient $j(U)j(P)+j(V)j(Q)=1$ avec $(j(U),j(V))\in\mathbf L[X]^2$ donc d'après le théorème de Bézout, $j(P)\wedge j(Q)=1$ i.e. $P$ et $Q$ premiers dans $\mathbf L[X]$. D'où $D_L=j(A)\wedge j(B)=j(D_K)(j(P)\wedge j(Q))=j(D_K)=D_K$.[/small]

On en déduit que si $A$ et $B$ sont non nuls (pour que le PPCM existe), alors grâce à la formule $AB=ab (A\wedge (A\vee , a$ et $b$ désignant les coefficients dominants de $A$ et $B$, le PPCM est inchangé par extension de corps.

1) Est-ce qu'il y a d'autres notions intéressantes et accessibles pour quelqu'un en prépa qui sont inchangées par extension de corps ?

2) Pouvez-vous me donner des exemples de notions qui au contraire changent par extension de corps ?