Extraire une base d'une famille

Ah bin oui, ça va mieux dans le sens là. $PM (-10,5,6,0,0)^t = PM (0,0,0,1,0)^t$ ... et y a plus qu'a multiplier par $P^{-1}$, pour voir la relation, c'est un peu / beaucoup moins complexe que mon histoire d'avant ! Super !

Nouveau problème, là j'ai trouvé comment faire, mais j'ai du mal a comprendre pourquoi ça fonctionne.

Etant donnée :$(v_1,\dots,v_m)$ une famille libre de vecteurs de $k^n$, déterminer un système d'équations de $F = \text{Vect}(v_1,\dots,v_m)$.

Ici, ça revient à trouver les $x = (x_1,\dots,x_n) \in k^n$ tels qu'il existe $\alpha = (\alpha_1,\dots,\alpha_m) \in k^m$ tel que : $(x_1,\dots,x_m) = \sum \alpha_i v_i$.

J'introduis la matrice $M$ des vecteurs $(v_1,\dots,v_m)$ et la matrice $N = (M \mid I_n)$ obtenu en ajoutant à $M$ la matrice $I_n$. On a $\ker(N) = \{ (\alpha,x) \mid M \alpha^t = x^t \}$.

On échelonne, et comme la famille $(v_1,\dots,v_m)$ est libre on trouve une matrice de la forme :
$$
\begin{pmatrix} I_m & A \\ 0_{n-m} & B \end{pmatrix}
$$
La matrice $B$ nous donne le système d'équations i.e $B x^t = 0$.

Un exemple :

sage: M

[2 3 1 0 0 0]
[3 4 0 1 0 0]
[4 2 0 0 1 0]
[0 3 0 0 0 1]

sage: M.echelon_form()

[   1    0    0    0  1/4 -1/6]
[   0    1    0    0    0  1/3]
[   0    0    1    0 -1/2 -2/3]
[   0    0    0    1 -3/4 -5/6]

Et donc :
$$
x - 1/2 z -2/3 t = 0 \qquad y -3/4 z -5/6 t = 0
$$
est un système d'équation de $\text{Vect}(v_1,v_2)$ avec $v_1 = (2,3,4,0)$ et $v_2 = (3,4,2,3)$.

"Preuve" :

il s'agit de montrer que les deux ensembles $X = \{ x \mid \exists \alpha \mid N (\alpha,x)^t = 0 \}$ et $Y = \{ x \mid Bx^t = 0\}$ sont égaux. Doubles inclusions.

1. Soit $x \in X$ et $\alpha$ tel que $N (\alpha,x)^t = 0$ en calculant par bloc on a : $B x^t= 0$.
2. Soit $x \in Y$, on pose $\alpha = -A x^t$, et en calculant par bloc on a : $N (\alpha,x)^t = 0$.

Si quelqu'un a un texte qui explique ça de manière complète, je suis preneur, là ce que je raconte n'est pas vraiment clean :-D D'ailleurs GBZM, ça me fait penser à une histoire sur les idéaux d'éliminations (tu avais parlé de ça y'a quelques mois), je me souviens car il y avait une histoire de projection que l'on retrouve ici $\ker(N) \to k^n$ donnée par $(\alpha,x) \mapsto x$. Je vais peut-être finir par comprendre :-D Mais faut d'abord que maîtrise bien le pivot de Gauss !

Merci Eric, c'est ton livre sur les colles en prépa ?

:-D

Merci Eric !