Formule de Taylor (polynômes)
Salut,
Voici l'énoncé que je connais :
Formule de Taylor. Soit $\mathbf K$ un corps de caractéristique nulle, $P\in\mathbf K[X]$ et $a\in\mathbf K$. Alors :
$$P=\sum_{k\in\mathbf N}\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$$
Preuve. Il existe $n\in\mathbf N$ tel que $P\in\mathbf K_n[X]$. La famille $((X-a)^k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de $\mathbf K_n[X]$ donc il existe $(a_0,\dots,a_n)\in\mathbf K^{n+1}$ tel que $P=\sum_{i=0}^n a_i (X-a)^i$. Ensuite, il s'agit de remarquer que : $\forall k\in [\![0,n]\!],\exists Q_k\in\mathbf K[X], P^{(k)}=k!a_k+(X-a)Q_k(X)$. Comment justifier cela rigoureusement ? J'ai pensé à une récurrence finie sur $k$. Pas de problème pour l'initialisation. Par contre, je bloque sur l'hérédité. En effet, si on utilise $P^{(k+1)}=(P^{(k)})'$, en utilisant l'hypothèse de récurrence, le terme constant $k!a_k$ disparaît...
Voici l'énoncé que je connais :
Formule de Taylor. Soit $\mathbf K$ un corps de caractéristique nulle, $P\in\mathbf K[X]$ et $a\in\mathbf K$. Alors :
$$P=\sum_{k\in\mathbf N}\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$$
Preuve. Il existe $n\in\mathbf N$ tel que $P\in\mathbf K_n[X]$. La famille $((X-a)^k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de $\mathbf K_n[X]$ donc il existe $(a_0,\dots,a_n)\in\mathbf K^{n+1}$ tel que $P=\sum_{i=0}^n a_i (X-a)^i$. Ensuite, il s'agit de remarquer que : $\forall k\in [\![0,n]\!],\exists Q_k\in\mathbf K[X], P^{(k)}=k!a_k+(X-a)Q_k(X)$. Comment justifier cela rigoureusement ? J'ai pensé à une récurrence finie sur $k$. Pas de problème pour l'initialisation. Par contre, je bloque sur l'hérédité. En effet, si on utilise $P^{(k+1)}=(P^{(k)})'$, en utilisant l'hypothèse de récurrence, le terme constant $k!a_k$ disparaît...
Réponses
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1) La dérivation est linéaire.
2) Par récurrence, $Q\mapsto Q^{(k)}$ est linéaire
3) $((X-a)^i)' = i(X-a)^{i-1}$ donc par récurrence, $((X-a)^i)^{(k)} = ...$
4) $P^{(k)} = (\displaystyle\sum_{i=0}^na_i(X-a)^i)^{(k)} = ...$ -
Merci.
$((X-a)^i)^{(k)}=(i-k+1)(X-a)^{i-k}=\dfrac{i!}{(i-k)!}(X-a)^{i-k}$ donc par linéarité, $P^{(k)}=\sum_{i=k}^n a_i \dfrac{i!}{(i-k)!}(X-a)^{i-k}=k!a_k+(X-a)Q_k(X)$ avec $Q_k(X)=\sum_{i=k+1}^n a_i \dfrac{i!}{(i-k)!}(X-a)^{i-1-k}$. -
Cette formule est valable plus généralement dans un anneau A intègre de caractéristique nulle car $k!$ est inversible dans A. En effet, on a toujours : $P^{(k)}(a)=k!a_k$
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Pour finir la preuve, on fait $X=a$ dans l'égalité qu'on vient de démontrer, pour obtenir $a_k=\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}$ puis en remplaçant dans $P=\sum_{i=0}^n a_i (X-a)^i$, on obtient la formule de Taylor.
Petite question : lorsqu'on fait ce remplacement "$X=a$", est-ce qu'on a le droit de le faire parce que $\mathbf K$ est de caractéristique nulle (donc infini) donc on peut identifier un polynôme avec sa fonction polynomiale associée (en fait on passe dans $\mathbf K[a]$) ? Du coup, la formule est en fait vraie pour $\mathbf K$ infini et pas forcément de caractéristique nulle ? -
On a besoin de la caractéristique nulle car $k! = k! \times 1_A$, et on réalise dans la formule de Taylor une division par $k!$.
On est ainsi assuré de ne pas faire une division illicite. -
Rietveld: "un anneau A intègre de caractéristique nulle car k! est inversible dans A" : depuis quand est-ce que $6$ est inversible dans $\Z$ ?
@Gauss_wh : non pas besoin d'un corps infini: tu n'utilises pas du tout l'identification; tu utilises simplement le fait qu'il existe un morphisme $K[X]\to K$ tel que $X$ est envoyé sur $a$, et qui envoie $K$ sur $K$.
Identifier fonctions polynomiales et polynômes ça revient à dire : si $f$ est une fonction polynomiale nulle, alors le seul polynôme qui l'induit est le polynôme nul -
Où est utilisée l'hypothèse que $\mathbf K$ est de caractéristique nulle alors ?
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Elle est utilisée pour donner un sens à $\frac{1}{k!}$: contrairement à ce que Rietveld annonce on a bien besoin que $K$ soit un corps pour écrire $\frac{1}{k!}$
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$\mathbb Q$-algèbre commutative suffit.
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Ok, ou alors dans un anneau commutatif tel que $k!$ soit inversible.
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Je n'avais pas vu le message de GBZM, mais j'avoue que je ne savais pas que c'était pareil. Je vais regarder ça.
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@Maxtimax Qu'ai-je dis de faux ?
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Polynôme_formel
(Développement de Taylor) -
@Rietveld: j'ai cité la partie qui était fausse dans mon premier message : tu as affirmé que dans un anneau de caractéristique nulle, $k!$ était inversible: c'est faux (je n'ai pas remis en question le développement de Taylor, même s'il faut préciser ce qu'on entend alors par $\frac{P^{(k)}(a)}{k!}$; et qu'il faut aussi changer légèrement la preuve proposée - pas trop)
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Quoi ? Mais je comprends bien, simplement cet élément particulier ($k!$) n'est pas ,en général, inversible, même dans un anneau intègre de caractéristique nulle.
Un élément n'est pas "parfois inversible, parfois pas".
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