Matrice 1ère année licence

bruno82
bruno82
dans Algèbre
Soit $M_2$ l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels d'ordre 2, muni de la base $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ où
$b_1$ = $ \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$, $b_2$ = $ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}$, $b_3$ = $ \begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{pmatrix}$, $b_4$ = $ \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
Soit $F$ l'application de $M_2$ dans $M_2$ définie par $$

F \Bigg( \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \Bigg) = \begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\,,\qquad \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\in M_2.

$$ Montrer que l'application $F$ est un endomorphisme de $M_2$.
Donner la représentation matricielle de l'endomorphisme $F$ dans la base $B$.
Montrer que $F$ est inversible.

Quelqu'un ?

Réponses

  • Eric
    Eric
    Dis-nous déjà ce que tu as fait.
  • Dom
    Dom
    Première idée, calculer le produit : $\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$.

    Juste pour commencer. Si ça ne sert pas, ce ne sera pas grave.
  • bruno82
    bruno82
    Je n'ai rien fait, je ne comprends pas.
    Habituellement, les bases sont constituées de vecteur colonnes.
    Je ne vois pas comment donner la représentation matricielle de F dans la base B.

    Si je fais
    F ( $\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$ )
    ça donne
    $ \begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$ = $ \begin{pmatrix} a-2c&b-2d \\ c&d \end{pmatrix}$

    Mais après je ne sais pas
  • bruno82
    bruno82
    La représentation matricielle de F dans B est le résultat du produit?

    Après F n'est pas toujours inversible, car cela dépend des valeurs de a,b,c,d, le déterminant ne devant pas etre nul.

    Dites moi si je me trompe?
  • Dom
    Dom
    Edit : ce n'est pas une réponse à ton dernier message

    Sais-tu comment on multiplie un scalaire par une matrice ?
    Par exemple, calcule $7\times b_1$ (écrire le résultat sous forme matricielle).
  • Eric
    Eric
    Les vecteurs sont les éléments de l'espace vectoriel. Si l'espace vectoriel est un ensemble de fonctions, alors les vecteurs sont des fonctions. Ici, il s'agit d'un espace vectoriel de matrices et les vecteurs de l'espace sont donc des matrices et une base de cet espace est un ensemble de matrices.
    Oublie tout de suite l'idée que les vecteurs ne peuvent être que des "vecteurs colonnes".
  • bruno82
    bruno82
    $7 * b_1$ = $\begin{pmatrix} 7&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} $

    donc $F \Bigg( \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \Bigg) = (a - 2c) \, b_1 + (b - 2d)\, b_2 + c\, b_3 + d\, b_4.$
    La représentation matricielle de $F$ dans $B$ est bien le produit calculé précédemment.
    $F$ est inversible car $\det \begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix} $ [est] différent de $0$.

    [En $\LaTeX$ c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques symboles. ;-) AD]
  • Dom
    Dom
    Attention : l'espace est de dimension 4 donc la représentation matricielle attendue est une matrice dont la colonne $1$ (et chaque autre colonne) contient les 4 coefficients de la base qui interviennent dans l'unique décomposition de $F(b_1)$ (et $F(b_2)$ etc.). Ce n'est pas une matrice de $M_2$.

    Il reste donc à :
    -démontrer que c'est bien un endomorphisme (on dit déjà que ça va bien de $M_2$ dans lui-même mais cela ne suffit pas !).
    -on écrit la représentation matricielle dans la base $B$.
    -dire pourquoi c'est inversible.
  • bruno82
    bruno82
    Il faut démontrer que $F$ est une application linéaire.

    C'est-à-dire que $k$ étant un scalaire et $P_1, P_2 \in M_2$
    $F(kP_1) = kF(P_1)$ et
    $F(P_1+P_2) = F(P_1) + F(P_2)$
    Ce qui se vérifie assez rapidement.

    La représentation matricielle de $F$ dans la base $B$ est la suivante :
    $ \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ -2&0&1&0 \\ 0&-2&0&1 \end{pmatrix} $

    Il faut montrer que cette matrice est inversible :
    $ \det \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ -2&0&1&0 \\ 0&-2&0&1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -2&0&1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} = 1 $ (est différent de $0$)
    Donc $F$ est inversible
  • Eric
    Eric
    A quoi sert le calcul du déterminant ? Est-ce vraiment nécessaire pour justifier que la matrice est inversible ?...
    De plus, la valeur de ce déterminant n'est-elle pas évidente ?...
  • bruno82
    bruno82
    Ce n'était pas nécessaire car une matrice triangulaire est inversible.

    J'ai détaillé le calcul du déterminant pour me justifier.

    Le déterminant est égal au produit des termes de la diagonale (pour une matrice triangulaire) j'avais oublié
  • Dom
    Dom
    Je ne trouve pas tout à fait la même matrice pour représenter $F$ dans la base $B$.

    $F(b_1)=b_1$ donc la matrice a pour première colonne $\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$.
  • Eric
    Eric
    Bruno a écrit:
    Ce n'était pas nécessaire car une matrice triangulaire est inversible.
    Donc la matrice nulle est inversible ?...
  • bruno82
    bruno82
    A Eric,

    Non, tous les coefficients diagonaux doivent etre non nul
  • bruno82
    bruno82
    La Matrice de $F$ dans $B$


    $ \begin{pmatrix} 1&0&-2&0 \\ 0&1&0&-2 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} $
  • Dom
    Dom
    Ok ;-)
    En corrigeant la coquille du coefficient d'indices $(2,2)$ qui est un $1$.
    En gros, c'était juste la transposée de ta première version.

    Bonne soirée.
  • bruno82
    bruno82
    Merci.
  • moduloP
    moduloP
    Salut,

    de manière un peu différente : L'application $F : \text{M}_2 \to \text{M}_2$ est donnée par la formule $F(M) = A \times M$ avec $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ et $\times$ le produit de matrices. Alors $$F(aM+bN) = A(aM+bN) = aAM+bAN = a F(M) +bF(N)$$
    c'est les propriétés du produit de matrices. Ensuite comme $A$ est une matrice inversible, tu peux considérer l'application $\phi : \text{M}_2 \to \text{M}_2$ donnée par $\phi(M) = A^{-1}M$. Exercice : constater que $F$ et $\phi$ sont inversibles l'un de l'autre.
  • Dom
    Dom
    En effet, une méthode pour prouver qu'un objet est inversible consiste à exhiber son inverse.

    Pour la linéarité, je crois que le plus efficace est ce qu'a fait moduloP, même si l'on pouvait se passer d'un des scalaires $a$ ou $b$.
  • moduloP
    moduloP
    @Dom : Pourquoi on peut se passer de $a$ ou $b$ ?
  • Dom
    Dom
    Définition de la linéarité :
    Pour tout $a$, $X$, $\qquad F(aX)=aF(X)$
    Pour tout $X$, $Y$, $\qquad F(X+Y)=F(X)+F(Y)$.

    Théorème : c'est équivalent à
    Pour tout $a$, $X$, $Y$, $\qquad F(aX+Y)=aF(X)+F(Y)$.
  • moduloP
    moduloP
    Bah oui mais l'exercice c'était de démontrer le théorème :-D
  • Dom
    Dom
    Allez un peu de nerf ;-)
  • moduloP
    moduloP
    Beh c'était pas pour moi l'exercice :-D
  • Dom
    Dom
    Je cherche le sens le plus difficile...en vain.
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