Inverse d'une matrice triangulaire supérieure

@GaBuZOMeu cette formule permettra de calculer les puissances de $S$ en utilisant la formule du binôme car $NI_n = I_nN$ ! Ma question à moi est pourquoi le sous-ensembles des matrices triangulaires est de dimension $\dfrac{n(n+1)}{2}$ je sais qu'il est engendré par les matrices élémentaires mais cet indice ne m'aide pas beaucoup.

@Nounouvch : la question n'est pas de calculer les puissances de $N+I_n$, mais son inverse. La réponse de GBZM contient bien évidemment la clé.

Pour ta question sur la dimension de l'espace des matrices symétriques, cherches-en une base. Celle-ci sera forcément de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$. Pour t'inspirer, commence par $n=2$ et $n=3$ par exemple. De quels coefficients as-tu réellement besoin pour spécifier une matrice symétrique ?

Pour ta dernière question, c'est vraiment du charabia. Tu sembles visiblement faire référence à une démonstration de ton cours qu'on ne peut pas deviner ! (une démonstration n'étant pas unique) Il est difficile de faire le lien entre tout ce que tu racontes. Et encore une fois, tu ferais mieux d'ouvrir un nouveau sujet plutôt que de parasiter celui-là :-)

Dans une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), les coefficients qui ont le « droit » d'être non nuls ne se limitent pas aux coefficients diagonaux... Il faut les identifier et les compter.

Pas super clair comme phrase. Pour fixer les idées, disons que l'on s'intéresse au sous-espace $\mathrm{TS}_n(\K)$ de $\mathrm{M}_n(\K)$ constitué des matrices triangulaires supérieures. Quels sont précisément les coefficients qui peuvent être non nuls dans un élément de $\mathrm{TS}_n(\K)$, et combien y en a-t-il ? Si tu as trouvé, tu dois pouvoir nous donner une base de $\mathrm{TS}_n(\K)$.

D'accord pour les matrices élémentaires, mais il faudrait préciser lesquelles. Pour les $a_{i,j}$, je suis aussi d'accord, et je vais prendre un café !

Si je comprends bien, tu prends toutes les matrices $E_{i,j}$ avec $i$ et $j$ dans $\{1, \dotsc, n\}$ et $i \geq j$ ? Cet ensemble de matrices engendre le sous-espace des matrices triangulaires inférieures, pas supérieures...

Si tu fais ça, il manque la diagonale. Après, il faut que tu t'assures que c'est bien une base du sous-espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathrm{M}_n(K)$, puis que tu comptes combien il y a de vecteurs dans cette base, et tu auras enfin la dimension.

Je comprends le début, mais pas la suite (à partir de « donc si je multiplie »). Il faut rester « focused » (concentré(e)). Pour pouvoir engendrer un espace comme tu viens de le montrer avec les coefficients, la manière la plus simple est de prendre une famille comportant un certain nombre de vecteurs $E_{i,j}$ (qui sont des matrices), correspondant chacun à un des $a_{i,j}$ ci-dessus, n'est-ce pas ? Combien y a-t-il de ces $E_{i,j}$ pour remplir le contrat ? (indice : pourquoi veux-tu faire une multiplication ?)

Tu vois bien ce qu'est une matrice élémentaire $E_{i,j}$ ? Elle a des zéros partout sauf à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$, où le coefficient vaut 1. Regarde ce que vaut une combinaison linéaire de deux matrices comme cela, c'est-à-dire $\lambda E_{i_1, j_1} + \mu E_{i_2, j_2}$ avec $i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$ dans $\{1, \dotsc, n\}$, $\lambda$ et $\mu$ dans le corps de base où tu travailles ($K$). Le cas qui nous intéresse est surtout celui où $(i_1, j_1) \neq (i_2,j_2)$.

Si tu calculais la demi-aire aire d'un carré de côté $n$, tu obtiendrais $n^2/2$, je ne vois toujours pas d'où viennent le $n!$ et le $2!$ que tu as écrits ci-dessus. Bon, mais ce que l'on veut, ce n'est pas la demi-aire d'un carré. Il faut que tu dises précisément quels sont les $E_{i,j}$ que tu comptes mettre dans ta famille libre et génératrice (base) de $\mathrm{TS}_n(K)$. On les « voit » sur la matrice que tu as représentée ci-dessus. Ce n'est qu'après qu'on pourra les compter pour obtenir la dimension de $\mathrm{TS}_n(K)$.

Merci, je comprends maintenant d'où vient $n(n+1)/2$
Pour la base à prendre j'ai pensé à la former de la manière suivante:
$E_{i,j}+ E'_{i,j}$ tel que pour $E_{i,j}$ correspond à $ \left \{ i< j \right \}$ et $ E'_{i,j}$ correspond à $\left \{ i= j \right \}$

@FLBP, c'est quoi le principe de cette méthode?

D'accord mais c'est quoi le rapport avec ma décomposition en matrice élémentaire ?

En effet...
Bon sinon, ton histoire de $E_{i,j}'$ ne veut pas dire grand chose (en tout cas on ne comprend pas). Tu cherches midi à 14h.
La réponse devrait te sauter aux yeux lorsque tu écris n'importe quelle matrice triangulaire supérieure.
-Peux-tu citer toutes les matrices élémentaires $E_{i,j}$ qui sont triangulaires supérieures ?
-Si oui, on note $F$ l'espace vectoriel engendré par la famille que tu as explicitée.
-D'ailleurs, cette famille est-elle libre ?
-Quelle est la dimension de $F$ ?
-Expliquer pourquoi $F$ est exactement l'espace des matrices triangulaires supérieures.

Et si tu l'écrivais vraiment, correctement, à l'aide des matrices élémentaires $E_{i,j}$ ? Au lieu d'inventer des notations inutiles ? Pourquoi refuser d'aller au bout de la pensée ? Et écrire un ensemble à un seul élément alors que tu sais qu'en général il y en a plus ?

NB : Si tu le dis en bon français, il ne te restera plus qu'à écrire ce que tu viens de dire avec les notations conventionnelles.