Inverse d'une matrice triangulaire supérieure
Bonjour, j'ai besoin de votre aide SVP.
Soit S une matrice de taille n*n triangulaire supérieure avec des 1 dans la diagonale je veux une expression qui calcule les entrées de la matrice inverse
Je sais que si $i=j$ alors $S_{ij}=1$
si $i>j$ alors $S_{ij}=0$
Qu'en est-il si $i<j$ ??
Merci pour votre aide.
Soit S une matrice de taille n*n triangulaire supérieure avec des 1 dans la diagonale je veux une expression qui calcule les entrées de la matrice inverse
Je sais que si $i=j$ alors $S_{ij}=1$
si $i>j$ alors $S_{ij}=0$
Qu'en est-il si $i<j$ ??
Merci pour votre aide.
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Réponses
Pour ta question sur la dimension de l'espace des matrices symétriques, cherches-en une base. Celle-ci sera forcément de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$. Pour t'inspirer, commence par $n=2$ et $n=3$ par exemple. De quels coefficients as-tu réellement besoin pour spécifier une matrice symétrique ?
Pour ta dernière question, c'est vraiment du charabia. Tu sembles visiblement faire référence à une démonstration de ton cours qu'on ne peut pas deviner ! (une démonstration n'étant pas unique) Il est difficile de faire le lien entre tout ce que tu racontes. Et encore une fois, tu ferais mieux d'ouvrir un nouveau sujet plutôt que de parasiter celui-là :-)
je t'écrit ce que je pense, voici une matrice triangulaire supérieur
Dans la ligne 1 j'ai bien n coefficients
Dans la ligne 2 j'ai bien n-1
.
.
.Dans la ligne n j'a 1
donc si je multiplie je serai face à n! divisé par 2! mais ceci n'a aucun sens car les coefficients ne doivent pas être nécessairement non nul.
Ici c'est comme si j'ai résonné sur le fait que les coefficients sont nuls ou pas.
J'espère que tu comprends
Tu vois bien ce qu'est une matrice élémentaire $E_{i,j}$ ? Elle a des zéros partout sauf à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$, où le coefficient vaut 1. Regarde ce que vaut une combinaison linéaire de deux matrices comme cela, c'est-à-dire $\lambda E_{i_1, j_1} + \mu E_{i_2, j_2}$ avec $i_1$, $j_1$, $i_2$, $j_2$ dans $\{1, \dotsc, n\}$, $\lambda$ et $\mu$ dans le corps de base où tu travailles ($K$). Le cas qui nous intéresse est surtout celui où $(i_1, j_1) \neq (i_2,j_2)$.
Dans la ligne 2 j'ai bien n-1
.
.
.Dans la ligne n j'a 1
donc si je multiplie..."
Ne multiplie pas, additionne et tu trouveras ce que tu veux.
Autre façon : dans une matrice carrée de taille $n$ il y a $n^2$ coefficients,
-combien y a-t-il donc de coefficients en dehors de la diagonale ?
-combien y a -t-il par conséquent de coefficients dans la moitié supérieure stricte (ie sans compter la diagonale) ?
-ajoute à ça le nombre de coefficients sur la diagonale.
-réduis au même dénominateur, et factorise.
Une fois que tu auras compris d'où vient le $n(n+1)/2$, tu pourras chercher une base avec les matrices élémentaires.
Pour la base à prendre j'ai pensé à la former de la manière suivante:
$E_{i,j}+ E'_{i,j}$ tel que pour $E_{i,j}$ correspond à $ \left \{ i< j \right \}$ et $ E'_{i,j}$ correspond à $\left \{ i= j \right \}$
Bon sinon, ton histoire de $E_{i,j}'$ ne veut pas dire grand chose (en tout cas on ne comprend pas). Tu cherches midi à 14h.
La réponse devrait te sauter aux yeux lorsque tu écris n'importe quelle matrice triangulaire supérieure.
-Peux-tu citer toutes les matrices élémentaires $E_{i,j}$ qui sont triangulaires supérieures ?
-Si oui, on note $F$ l'espace vectoriel engendré par la famille que tu as explicitée.
-D'ailleurs, cette famille est-elle libre ?
-Quelle est la dimension de $F$ ?
-Expliquer pourquoi $F$ est exactement l'espace des matrices triangulaires supérieures.
$E_{i,j}=\left \{E_{1}+E_{2} \right \}$ tq $E_{1}$correspondront aux matrices élémentaire vérifiant $i< j$
et $E_{2}$ correspond aux matrices élémentaires vérifiant $i=j$
C'est clair maintenant?
NB : Si tu le dis en bon français, il ne te restera plus qu'à écrire ce que tu viens de dire avec les notations conventionnelles.
D'accord je vais essayer
PS: moi aussi je déteste inventer des notions inutiles ^^