Sous-groupe d'un groupe multiplicatif
Bonjour à tous
Une question me tiraille un peu mais je ne sais pas si je raisonne bien autours.
Soit $G$ un groupe noté multiplicativement. Soit $H$ un sous-groupe de $G$.
On sait que deux éléments de $H$ sont stables par la loi $\cdot$ donc leur produit appartient à $H$.
Mais alors, soit un élément $x$ de $G$ mais qui n'appartient pas à $H$ (on suppose $H$ différent de $G$) et soit un élément $y$ de $H$.
Appelons $z$ le produit de ces éléments : $z=x.y$.
A-t-on forcément alors $z$ n'appartient pas à $H$ ?
J'aurais tendance à dire oui : supposons que $z$ appartienne à $H$, on peut écrire alors :
$x.y=z$ puis $x=z.y^{-1}$, or si $z$ appartient à $H$ et comme $y^{-1}$ appartient à $H$ par stabilité du passage à l'inverse, leur produit appartient à $H$ par stabilité, ce qui est contredit l'hypothèse de départ qui était que $x$ n'appartient pas à $H$.
Tout cela est il correct ?
Merci.
Une question me tiraille un peu mais je ne sais pas si je raisonne bien autours.
Soit $G$ un groupe noté multiplicativement. Soit $H$ un sous-groupe de $G$.
On sait que deux éléments de $H$ sont stables par la loi $\cdot$ donc leur produit appartient à $H$.
Mais alors, soit un élément $x$ de $G$ mais qui n'appartient pas à $H$ (on suppose $H$ différent de $G$) et soit un élément $y$ de $H$.
Appelons $z$ le produit de ces éléments : $z=x.y$.
A-t-on forcément alors $z$ n'appartient pas à $H$ ?
J'aurais tendance à dire oui : supposons que $z$ appartienne à $H$, on peut écrire alors :
$x.y=z$ puis $x=z.y^{-1}$, or si $z$ appartient à $H$ et comme $y^{-1}$ appartient à $H$ par stabilité du passage à l'inverse, leur produit appartient à $H$ par stabilité, ce qui est contredit l'hypothèse de départ qui était que $x$ n'appartient pas à $H$.
Tout cela est il correct ?
Merci.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
1) $\forall y \in H, \forall x \in G, x \notin H \Rightarrow x.y \notin H$.
Qui est équivalent à : (contraposée de l'implication).
2) $\forall y\in H, \forall x \in G, x.y \in H \Rightarrow x \in H$.
Et d'ailleurs tu as utilisé une "preuve directe" de l'implication du 2) plutôt que du 1).