Clôture algébrique des fractions rationnelles

C'est le corps des séries de Puiseux algèbriques. Son anneau de valuation est formé de séries convergentes.
On peut aussi partir de $\mathbb R(X)$, et prendre sa clôture réelle pour l"ordre pour lequel $X$ est infiniment petit positif. Cette clôture réelle s'identifie au corps des germes de fonctions de Nash en $0_+$, c.-à-d. au corps des fonctions de Nash sur un intervalle $]0,\epsilon[$ (en identifiant cette fonction à ses restrictions à n'importe quel intervalle $]0,\delta[$ avec $0<\delta<\epsilon$.
Si on ajoute une racine de $-1$ à ce corps de germes de fonctions de Nash, on obtient la clôture algébrique de $\mathbb C(X)$.

PS : j'ai oublié de dire ce qu'est une fonction de Nash. C'est une fonction analytique qui satisfait une équation algébrique non triviale, ou encore une fonction $C^\infty$ dont le graphe est semi-algébrique.