Théorème de factorisation
Bonjour,
Soit $G$ un groupe. Soit $H$ un sous-groupe normal de $G$, soit $q: \: G \longrightarrow G/H$ l'homomorphisme canonique et soit $K$ un sous-groupe quelconque de $G$. Alors on a l'isomorphisme canonique $\displaystyle q(K) \cong K/(H \cap K)= \{x(H \cap K), \: x \in K \}$ (avec une loi $\times$).
Question: le démontrer en factorisant la restriction $\displaystyle q_{\scriptscriptstyle{\vert K}} \:: K \longrightarrow G/H$.
J'imagine qu'il est fait référence à ce théorème:
$\bullet \textbf{Théorème}$ (...de factorisation des homomorphismes)
Soient $G$ et $G'$ deux groupes et soit $h$ un homomorphisme de groupes de $G$ dans $G'$. Si $H$ est un sous-groupe normal de $G$ contenu dans $\ker(h)$, alors il existe un homomorphisme $h^*$ unique de $G/H$ dans $G'$ tel que $\displaystyle h=h^* \circ q$ ( où $q$ est l'homomorphisme canonique $G \longrightarrow G/H) \: \: \blacksquare$.
Mais je ne vois pas comment l'utiliser pour factoriser l'homomorphisme restreint de l'énoncé. D'autre part le groupe-quotient $K/(H \cap K)$ vous semble-t-il correctement défini ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
...
Soit $G$ un groupe. Soit $H$ un sous-groupe normal de $G$, soit $q: \: G \longrightarrow G/H$ l'homomorphisme canonique et soit $K$ un sous-groupe quelconque de $G$. Alors on a l'isomorphisme canonique $\displaystyle q(K) \cong K/(H \cap K)= \{x(H \cap K), \: x \in K \}$ (avec une loi $\times$).
Question: le démontrer en factorisant la restriction $\displaystyle q_{\scriptscriptstyle{\vert K}} \:: K \longrightarrow G/H$.
J'imagine qu'il est fait référence à ce théorème:
$\bullet \textbf{Théorème}$ (...de factorisation des homomorphismes)
Soient $G$ et $G'$ deux groupes et soit $h$ un homomorphisme de groupes de $G$ dans $G'$. Si $H$ est un sous-groupe normal de $G$ contenu dans $\ker(h)$, alors il existe un homomorphisme $h^*$ unique de $G/H$ dans $G'$ tel que $\displaystyle h=h^* \circ q$ ( où $q$ est l'homomorphisme canonique $G \longrightarrow G/H) \: \: \blacksquare$.
Mais je ne vois pas comment l'utiliser pour factoriser l'homomorphisme restreint de l'énoncé. D'autre part le groupe-quotient $K/(H \cap K)$ vous semble-t-il correctement défini ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.
...
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Réponses
Que vaut $\ker q_{|K}$? Que dire du noyau?
le noyau de l'homomorphisme $q$ est un sous-groupe normal de $G$. Le noyau de $q$ restreint est l'ensemble des éléments de $K$ dont l'image par $q$ est le neutre de $G/H$.
...
...
Maintenant, comment peux-tu décrire simplement « l'ensemble des éléments de $K$ dont l'image par $q$ est le neutre de $G/H$ qui appartiennent à $H$ » ?
...
Ma foi, tu es bien compliqué!
Bien à toi.
Pour la définition de l'isomorphisme $g$ : \begin{array}{cccl}
g: &G/\ker(q) &\longrightarrow& Im (q) \\
& \overline{x}& \longmapsto& q(x)
\end{array}
...
Tu as remarqué que l'image de $q_K$ est égale à $q(K)$ ?
$G/H$ vers $im$ $h$ pourquoi $q$?8-)
Donc dans notre cas , on a que $im$ $q_{|K}$ est isomorphe à $K/ \ker q_{|K}$...
Je remets tout ça au propre.
On a un morphisme $q_{\scriptscriptstyle{\vert K}}: \: K \longrightarrow G/H$.
Et par le premier théorème d'isomorphisme : $$
K/\ker q_{\scriptscriptstyle{\vert K}} \cong Im q_{\scriptscriptstyle{\vert K}}
$$ La correspondance : $$
\begin{array}{cccl}
g: & K/\ker q_{\scriptscriptstyle{\vert K}}& \longrightarrow& Im q_{\scriptscriptstyle{\vert K}} \\
&\overline{x} &\longmapsto &q_{\scriptscriptstyle{\vert K}}(x)
\end{array}
$$ est l'isomorphisme de groupes tel que: $h^*=i \circ g$.
...
Tu commences par montrer que $\ker q_{|K}=K\cap H$ (inclusion dans les deux sens).
Ensuite, on te dit d'utiliser la factorisation de la restriction $q_{|K}$. Alors tu traces le diagramme commutatif de cette factorisation. $$
\xymatrix {K \ar[r]^-{q_{|K}} \ar [d] & G/H \\
K/K\cap H \ar[ur]^-{\simeq}_-{\widetilde{q_{|K}}}
} $$ Alors tu peux écrire $$ K/K\cap H\simeq \widetilde{q_{|K}}(K/K\cap H) =q_{|K}(K)=q(K)
$$ Le premier symbole "$\simeq$" est l'isomorphisme donné par le théorème de factorisation.
Le second symbole "=" est la conséquence du diagramme commutatif ci-dessus.
Le dernier symbole "=" est obtenu par définition de la restriction $q_{|K}$.
CQFD.
Alain
PS. Le groupe quotient $K/K\cap H$ est bien défini car comme $H\lhd G$ tu en déduis $K\cap H\lhd K$ (petit exercice).
...
Comme dans le premier énoncé: soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe normal de $G$.
$\textbf{question 2}$: soit $q: G \longrightarrow G/H$ l'homomorphisme canonique et $K$ un sous-groupe quelconque de $G$.
Démontrer que $q(K)=HK/H$.
L'énoncé suggère de le faire en factorisant ($K \longrightarrow HK/H$) et en faisant jouer la surjectivité de l'isomorphisme entre les groupes $K/(H \cap K)$ et $HK/H$.
Or l'existence de cet isomorphisme est une conséquence du $\textbf{deuxième théorème d'isomorphisme}$:
si $G$ est un groupe et $H$ un sous-groupe normal de $G$, alors les groupes-quotients $K/(H \cap K)$ et $HK/H$ existent et sont isomorphes.
\begin{equation}
K/(H \cap K) \cong HK/H
\end{equation}
$\textbf{Existence des groupes quotients}$: si $H$ est un sous-groupe normal de $G$ alors $H \cap K$ est un sous-groupe normal de $K$. D'autre part $HK$ est un sous-groupe de $G$ et $H$ est un sous-groupe normal de $HK$.
Désignons par $i$ l'injection canonique: $K \longrightarrow HK$.
Soient $\pi$ et $\pi'$ les épimorphismes canoniques (c'est-à-dire les homomorphismes surjectifs) associés aux groupes quotients $K/(H \cap K)$ et $HK/H$.
\begin{equation}
\pi: \: K \longrightarrow K/(H \cap K) \\
\pi': \: HK \longrightarrow HK/H
\end{equation}
Si $i(H \cap K)= H \cap K$ alors $i(H \cap K) \subseteq H$.
On applique le résultat suivant:
$\textbf{Lemme}$
Soient deux groupes $G$ et $G'$. On suppose $H \triangleleft G$ ($H$ normal dans $G$), $H' \triangleleft G'$ et soit $f$ un homomorphisme de $G$ dans $G'$ tel que $f(H) \subseteq H'$.
Alors il existe un unique morphisme $\displaystyle \overline{f}$ de $G/H$ dans $G'/H'$ tel que $\displaystyle \overline{f} \circ \pi = \pi' \circ f$ où $\pi$ et $\pi'$ sont les épimorphismes canoniques
\begin{equation}
\pi: \: G \longrightarrow G/H \\
\pi': \: G' \longrightarrow G'/H'
\end{equation}
$\blacksquare$
On en conclut (en revenant aux notations de l'énoncé) à l'existence d'un unique morphisme $\varphi$ de $K/(H \cap K)$ vers $HK/H$ tel que $\varphi \circ \pi = \pi' \circ i$.
On démontre que $\pi' \circ i$ est surjectif. En effet $\pi' \circ i(K) = \pi'(K)=HK/H$; ce qui démontre le deuxième énoncé. Par suite $\varphi$ est surjectif.
Dans cette démonstration, le fait que $i(x)=x$ pour tout $x \in K$ est essentiel mais je ne vois pas ce qui permet de l'affirmer.
Peut-on invoquer la condition: $f(H) \subseteq H' \: \Longleftrightarrow H \subseteq f^{-1}(H')$ ?
Enfin puisque $i(H \cap K) \subseteq H$ et que $i(x)=x$ pour tout $x \in K$, $i^{-1}(H)=H \cap K$ ce qui implique l'injectivité de $\varphi$ et $\varphi$ est un isomorphisme.
Voilà comment je vois les choses mais je me suis peut-être trompé. Vous ne manquerez pas de me le faire remarquer.
Je me suis (fortement) aidé de notes de cours ainsi que de l'ouvrage de Josette Calais: "éléments de théorie des groupes-éditions puf".
J'ai plein de choses à dire sur la démonstration de AD mais je n'arrive pas à les formuler. C'est très frustrant !
$\bullet \textbf{Troisième question}$
Soit $h$ un homomorphisme de $G$ dans $G'$, et soit $H$ un sous-groupe normal de $G$. Alors on a l'isomorphisme
\begin{equation}
\displaystyle G/H\ker(h) \cong h(G)/h(H)
\end{equation}
$\textbf{indication}$: factoriser l'homomorphisme $\displaystyle q' \circ h: \: G \longrightarrow h(G)/h(H)$, où $q'$ est l'application canonique $h(G) \longrightarrow h(G)/h(H) \: \: \blacksquare$.
Là encore, si quelqu'un a des explications ou des précisions à apporter sur la démarche à suivre, je suis preneur !
...
1°) $q(K)=q(HK)$. L'inclusion de gauche à droite est évidente, et je te laisse réfléchir à l'inclusion de droite à gauche.
2°) Le noyau de la restriction de $q$ à $HK$ est $H$.
3°) Donc $q(K)=HK/H$.
Pour ta question 3) il convient de vérifier que $h(H)$ est un sous-groupe normal de $h(G)$. Après, vu que $q'\circ h$ est évidemment surjectif, il suffit d'identifier son noyau.
Edit: des dollars qui tombent du ciel ! ;-)
@brian: $i$ est une injection canonique donc quelque chose de la forme $$
\begin{array}{cccl}
i: & A &\longrightarrow &E \\
& x&\longmapsto& i(x)=x,
\end{array}
$$ pour une partie $A$ d'un ensemble $E$. Et donc, par définition: $i(x)=x, \quad \forall x \in K$.
Voilà... Et du coup j'ai un peu honte.
NB: $i$ est aussi un morphisme injectif de groupes.
...
Est-il nécessaire que $H$ soit normal dans $G$ pour obtenir l’isomorphisme du deuxième théorème?
Tu parles bien du deuxième théorème d'isomorphisme ? À $H$ et $K$ fixés, le plus petit $G$ pour lequel le théorème est applicable est $\langle H, K \rangle$, le sous-groupe de $G$ engendré par $H$ et $K$. Évidemment, il faut que $H$ soit normal dans $\langle H, K \rangle$, ce qui équivaut à dire que $K$ normalise $H$. Dans ce cas, on a $\langle H, K \rangle = HK = KH$, ce qui permet de retrouver les notations de l'énoncé de df.
Sauf erreur.
Edit: réponse passée à l'encre sympathique puisque la question s'adressait à df !
C’est dommage , je posais la question à @df! X:-(
:-)
...
C'est aussi frustrant de ne savoir sur quoi te répondre ! :-)
Concernant la 3ème question, on reprend la même méthode que ci dessus http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1696598,1696822#msg-1696822
Il faut tout d'abord justifier l'existence des groupes quotients.
1) ${\color {red}{\not K}}\, H$ et $\ker h$ sont distingués dans $G$ donc aussi $H\ker h$ et $G/H\ker h$ est bien un groupe.
2) $h$ est surjectif sur son image donc $H\lhd G$ donne $h(H)\lhd h(G)$ et le quotient $h(G)/h(H)$ est lui aussi un groupe.
Il faut ensuite calculer le noyau de $q'\circ h$ et montrer que c'est $H\ker h$. (par double inclusion)
Soit $x\in\ker(q'\circ h)$ alors $q'\circ h(x)=1$ donc $h(x)\in\ker q'=h(H)$. Ainsi$^1$, $x\in h^{-1}(h(H)) = \langle H,\ker h\rangle =H\ker h$.
Réciproquement, soit $x\in H\ker h$ alors $x=ab$ avec $a\in H$ et $b\in \ker h$.
$q'\circ h(x)= q'(h(ab))=q'(h(a))=1$ car $h(a)\in h(H)=\ker q'$.
Maintenant tu traces le diagramme commutatif de la factorisation de $q'\circ h$ $$
\xymatrix { G \ar[d] \ar[r]^-{q'\circ h} & h(G)/h(H) \\
G/H\ker h \ar[ru]_-{\tilde q}^-{\simeq}
} $$ Et tu écris $\dfrac{G}{H\ker h} \simeq \tilde q\Big(\dfrac{G}{H\ker h} \Big) =q'\circ h(G)=\dfrac{h(G)}{h(H)}$ car $q'\circ h$ est surjectif.
Les justifications de ces isomorphisme et égalités sont les mêmes que celles que j'ai données plus haut http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1696598,1696822#msg-1696822
Alain
$~^1$ Pour tout sous-groupe $A\subset G$, on a $h^{-1}(h(A))=\langle A,\ker h\rangle$, le sous-groupe engendré par $A$ et par $\ker h$ (se montre par double inclusion). D'autre part, ce sous-groupe est égal au produit $A\ker h$ car $\ker h$ est distingué dans $G$.
Edit en rouge : correction de 1) suite au signalement de df. Merci.
En fait j'y arrive progressivement. J'ai juste besoin de me familiariser avec les diagrammes commutatifs et avec toute cette dimension "schématique" de la théorie des groupes.
Encore merci.
df.
\begin{equation}
\displaystyle G/K\big/H/K \cong G/H
\end{equation}
$\textbf{Preuve 1}$ Soient les deux surjections canoniques
\begin{equation}
\displaystyle q: \: G \longrightarrow G/H \\
p: \: G \longrightarrow G/K
\end{equation}
$H/K = p(H)$ est un sous-groupe de $G/K$ comme image du sous-groupe $H$ par le morphisme de groupes $p$. Pour tout $\overline{x} \in G/K$ et $\overline{k} \in H/K$, on a
\begin{equation}
\displaystyle \overline{x}\overline{k}\overline{x}^{-1}\:=\:p(xkx^{-1})
\end{equation}
or $xkx^{-1} \in H$ puisque $H$ est distingué dans $G$. Donc $\overline{x}\overline{k}\overline{x}^1 \in p(H)$. Ceci prouve que $H/K$ est distingué dans $G/K$ et que le groupe quotient $(G/K)\big/(H/K)$ est bien défini.
Soit alors la surjection canonique $q': \: G/K \longrightarrow (G/K)\big/(H/K)$.
Puisque $p(H)=H/K$, on applique le théorème de factorisation des homomorphismes. On en conclut qu'il existe un morphisme $\varphi: \: G/H \longrightarrow (G/K)\big/(G/H)$ tel que $\varphi \circ q=q' \circ p$.
$$\displaystyle \xymatrix{G \ar[r]^p \ar[d]_q & G/K \ar[d]^{q'} \\
G/H \ar[r]^{\varphi} & \frac{(G/K)}{(H/K)}}$$
Le morphisme $q' \circ p$ est surjectif comme composé de deux surjections et il résulte du théorème de factorisation d'une part que $\varphi$ est surjectif, d'autre part que $Ker (q' \circ p)= H$ et donc que $\varphi$ est injectif.
$\varphi$ est bien un isomorphisme de groupes de $G/H$ sur $(G/K)\big/(H/K) \: \: \blacksquare$
$\textbf{Preuve 2}$ Considérons le composé :
\begin{equation}
h:\: G \longrightarrow G/K \longrightarrow G/K\big/H/K,
\end{equation}
qui à $x \in G$ associe la classe de $q(x)$ modulo $H/K$; il est surjectif comme composé d'applications surjectives. Si $q(x) \in H/K$ et comme $(H/K)\big/(H/K)=\{x\:H/K, \: x \in H/K\}$, il existe $y \in H$ tel que $q(x)=q(y)$, d'où $x=yz$ avec $z \in K$, et comme $K \subseteq H$, on a $x \in H$.
Réciproquement si $x \in H$ alors $h(x)$ est la $\textbf{classe neutre}$ dans $G/K\big/H/K$.
Je bloque un peu sur cette dernière question !
Quelqu'un sait-il comment on peut prouver concrètement dans un groupe-quotient "à rallonge" comme $(G/K)\big/(H/K)$ que $h(x)$ en est bien l'élément neutre ?
Peut-on commencer par calculer $h(x)h(y)= h(xy) = h(y)$ pour $x \in H$ et $y \in G$ et ensuite invoquer la normalité de $H/K$ dans $G/K$ pour pouvoir écrire $x \: H/K = H/K \: x$ ?
Si l'on n'a plus l'hypothèse $K \subseteq H$, quel isomorphisme faut-il écrire pour identifier le quotient $G/K\big/q(H)$ à un quotient de $G$ ?
Si $K$ n'est pas inclus dans $H$: $H$ et $K$ sont normaux et le groupe $HK$ est normal en tant que sous-groupe engendré par des sous-groupes normaux.
On a $\displaystyle K \subseteq HK \subseteq G$. Donc, en se rappelant que $q(H)$ est un sous-groupe normal de $G/K$:
\begin{equation}
\displaystyle G/K\big/q(H)=G/K\big/HK/K \cong G/HK
\end{equation}
$\textbf{Question 5}$ Montrer que quels que soient $a,b \in \mathbb{R}^*$, on a $\mathbb{R}/a\mathbb{Z} \cong \mathbb{R}/b\mathbb{Z}$.
...
...
$q(x)\in G/H$ OK. Que veut dire "la classe de $q(x)$ modulo $H/K$" ?
$G/H$ ne contient pas de sous-groupe $H/K$, donc "modulo $H/K$" n'est pas défini dans $G/H$.
Comment définis-tu la flèche $G/H \longrightarrow G/K\big/H/K$ ?
Alain
\begin{equation}
h: G \longrightarrow G/K \longrightarrow G/K \big / H/K
\end{equation}
$H/K$ est bien alors un sous-groupe de $G/K$ et la définition modulo $H/K$ retrouve du sens.
...
Oui cela a du sens maintenant, mais alors on n'est pas très loin de la Preuve 1.
Alain
Ici, il ne te reste qu'à déterminer la noyau de $x \mapsto \frac{b}{a}x \pmod{b \mathbb Z}$ et à montrer que celui-ci est surjectif dans $\mathbb R/b \mathbb Z$.
le noyau de $f: \: x \mapsto \frac{b}{a}x + b\mathbb{Z}$ étant manifestement $ker\:f =b\mathbb{Z}$, il reste comme le suggère @Poirot à démontrer la surjectivité de $f$ dans $\mathbb{R}/b\mathbb{Z}$.
Mais comment s'y prendre ? $f$ étant un homomorphisme continu, je vois des arguments topologiques pointer le bout de leur nez. Or pour moi, la topologie: c'est "terre inconnue" !
Enfin, j'ai trouvé dans l'ouvrage $\textbf{"Algèbre, le grand combat"}$ de Grégory Berhuy, une application originale du théorème de factorisation (pages 246-247). Je voudrais revenir sur la démonstration et les théorèmes utilisés mais j'ai cru déceler deux ou trois coquilles (oui, même moi je les vois !). En attendant de clarifier tout ça, voilà ce dont il s'agit.
$\textbf {Théorème}$ Pour tous groupes finis $G, G_1, G_2$, on a
\begin{equation}
G_1 \times G \cong G_2 \times G \Longrightarrow G_1 \cong G_2.
\end{equation}
...
Il y en a même qui paye une somme fixe pour chaque coquille :-D (comme Knuth, je crois ...)
Soient $a, b$ réels non nuls. Comment déterminer le noyau de $f$ ? $$
\begin{array}{cccl}
f:& \mathbb{R} &\longrightarrow &\mathbb{R}/(b\mathbb{Z})\\
&x& \longmapsto &\frac{b}{a}x + b \mathbb{Z}
\end{array}
$$ On vérifie que $f(x+y)=\frac{b}{a}(x+y) + b\mathbb{Z} =(\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}y) +b\mathbb{Z} =\left(\frac{b}{a}x + b\mathbb{Z}\right) + \left(\frac{b}{a}y + b\mathbb{Z}\right)=f(x)+f(y)$
Si $\displaystyle k \in \mathbb{Z}, \: \: f(ak)=\frac{b}{a}(ak) + b\mathbb{Z}=bk+b\mathbb{Z}$.
Donc $bk \in b\mathbb{Z}$ et $bk + b\mathbb{Z}=b\mathbb{Z}= 0_{\mathbb{R}/(b\mathbb{Z})}$ (l'élément neutre de $\mathbb{R}/b\mathbb{Z})$.
$a\mathbb{Z} \subseteq \ker f$.
Réciproquement, si $\displaystyle x \in \ker f, \: \: \frac{b}{a}x + b\mathbb{Z}=b\mathbb{Z} \Longleftrightarrow \frac{b}{a}x \in b\mathbb{Z}$.
Donc $\displaystyle \frac{b}{a}x=bk, \: \: k \in \mathbb{Z}$.
Puisque $\displaystyle b \neq 0, \: \frac{x}{a} = k \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow x=ak \in a\mathbb{Z}$.
Finalement $\ker f \subseteq a\mathbb{Z}, \: \ker f=a\mathbb{Z}$.
On peut donc danser autour du feu pour invoquer le premier théorème d'isomorphisme : $$
\mathbb{R}/(b\mathbb{Z}) \cong \mathbb{R}/(\ker f)= \mathbb{R}/(a\mathbb{Z})
$$ PS. Je n'ai pas réussi par les voies que vous m'avez indiquées. Pour prouver que $f$ est surjective, l'injectivité étant acquise, suffit-il d'établir que l'image de $f$ est $\mathbb{R}/b\mathbb{Z}$ ?
...
@Melpomène: l'auteur a lui-même mis en ligne un errata et des commentaires. Mais il n'est pas complet hélas.
Une suggestion pour les prochaines applications de l'Intelligence Artificielle: éradiquer les coquilles dans l'édition scientifique en général et mathématique en particulier.
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~berhuy/fichiers/erratum.pdf
...
"My" way: Le noyau de $p\circ g$ est $(p\circ g)^{-1}(\{0\})=g^{-1}(p^{-1}(\Z))=g^{-1}(\ker p)$.
Or le noyau de $p$ est $b\Z$ et $g$ est une bijection donc l'image réciproque d'une partie est son image par l'application réciproque $g^{-1}$.
Ainsi, le noyau de $p\circ g$ est $g^{-1}(\ker p)=\frac{a}{b}b\Z=a\Z$.
Montrer la surjectivité, c'est exactement montrer que l'image de $f$ est $\R/b\Z$. Avec "my way", $f$ est la composée de deux surjections donc elle est surjective. Cela pourrait t'inspirer une démonstration : prendre un élément de $\R/b\Z$, le relever dans $\R$ (i.e. choisir un représentant, i.e. choisir un antécédent par $p$), puis trouver un $x$ tel que $\frac{b}ax$ soit ce représentant.
En tout cas, moi, c'est ce que je ferais...
D'ailleurs, sur la page de l'auteur, que tu as lue, puisque tu as vu l'errata, il est explicitement écrit:
"Un erratum est disponible ici. Si vous trouvez des coquilles, n'hésitez pas à me les signaler par email."
Mel