Système du 18.8.2018

Bonjour,

Voici une résolution de ce système.

Sans perte de generalité, on suppose $\displaystyle a,b\geq 0$.
On réécrit le système sous la forme $\displaystyle y(x-y)|x+jy|^2=a^2, y(x+y)^2=b^2.$

Cas $\displaystyle a=b=0$ :
On trouve sans peine $\displaystyle x\in\R, y=0.$

Cas $\displaystyle a=0,b>0$ :
On trouve sans peine $\displaystyle x=y=(b^2/4)^{1/3}.$

Cas $\displaystyle a>0,b=0$ :
On trouve sans peine $\emptyset.$

Cas $\displaystyle a>0,b>0 $ :
On suppose $x=0$. Et alors la première équation donne $\displaystyle -y^4=b^2$ : contradiction.
On pose alors $\displaystyle t=y/x.$ Et les équations deviennent $\displaystyle x^4 t(1-t^3)=a^2, x^3t(1+t)^2=b^2.$
On en déduit que nécessairement $\displaystyle 0<t<1$ et par substitution en exprimant $\displaystyle x^{12}$ de deux façons on trouve $\displaystyle F(t)={t(1+t)^8\over (1-t^3)^3}={b^8\over a^6}$. Une simple étude de la fonction $F$, qui est définie, continue et dérivable sur $\displaystyle 0<t<1$ montre que $\displaystyle F’(t)={(1+9t+8t^3)(1+t)^7\over (1-t^3)^4} >0$ et avec $\displaystyle F(0)=0$ (prolongée par continuité) on conclut qu’il existe une et une seule solution $\displaystyle c>0$ vérifiant $\displaystyle F(c)={b^8\over a^6}$.
On trouve donc $\displaystyle x=(b^2/(c(1+c)^2))^{1/3}, y = c x$ où $c$ est l’unique solution telle que $ \displaystyle c(1+c)^8/(1-c^3)^3=b^8/a^6.$