Deuxième théorème d'isomorphisme

Si ton problème est de démontrer $j(H\cap K)\subset H\cap K$, il y a bien quelque chose d'évident qui t'échappe : pour tout $k\in K$, $j(k)= {?}$

Ah, c'est ça ? Alors, soit il y a une coquille dans ton livre, soit tu le lis mal. L'hypothèse dans le lemme est bien entendu $f(H)\subset H'$.
Une remarque : $f(H) \subset H$ ne fait pas sens puisque $f$ arrive dans $G'$ et que $H$ n'est pas un sous-ensemble de $G'$.

Bonsoir df
Il est temps maintenant de visualiser un peu mieux ce 3ème théorème d'isomorphisme qui est assez abstrait dans son énoncé.
$G$ groupe et $H\subset K\subset G$ des sous-groupes distingués dans $G$ ($H\lhd G$ et $ K\lhd G$), alors $\dfrac G K \simeq \dfrac{G/H}{K/H}$.

Nous allons considérer le treillis des sous-groupes de $G$, que l'on notera $\mathscr L(G)$, et le sous-treillis des sous-groupes de $G$ contenant $H$, que l'on notera $\mathscr L(G\supset H)$.
Il y a un théorème qui se montrera très utile, le théorème de correspondance https://fr.wikiversity.org/wiki/Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient#Sous-groupes_d’un_groupe_quotient , cité par Brian, et que j'appellerai de manière plus explicite le théorème du treillis-quotient. Avec les treillis de sous-groupes, ce théorème dit tout simplement que $$\mathscr L(G/H) \simeq \mathscr L(G\supset H)$$ Le treillis du quotient $G/H$ est isomorphe (en tant que treillis) au sous-treillis des sous-groupes de $G$ contenant $H$. Sur le schéma ci-dessous, le treillis de $G/H$ est représenté en blanc à droite, entouré de tirets est donc identique au sous-treillis en blanc à gauche, entouré de tirets compris entre les groupes $G$ et $H$.

Si $K$ est un sous-groupe distingué de $G$ contenant $H$, par la surjection canonique, $K$ s'envoie sur le quotient en $K/H$ qui est donc lui aussi distingué dans $G/H$ (th du treillis-quotient). Comme les treillis entourés de tirets sont identiques, les deux sous-treillis en grisé sombre sont eux aussi identiques, c'est-à-dire $\mathscr L(G\supset K) \simeq \mathscr L(G/H\supset K/H)$.
Le fait que la correspondance du treillis-quotient soit induite par un morphisme (la surjection canonique) fait que l'identité des sous-treillis ci-dessus induit un isomorphisme de groupes $ G/ K \simeq (G/H)/(K/H)$.

J'espère que tout ceci ne t'apparaît pas trop obscur, mais la vue des groupes par le treillis de leurs sous-groupes permet de facilement visualiser un quotient $G/H$ comme un sous-treillis du treillis de $G$, précisément le sous-treillis des sous-groupes compris entre $G$ et $H$.

Alain

Bonsoir Rietveld
> ... sans parler de treillis ...

Ben non, si j'arrive à un peu à "toucher ma bille" en théorie des groupes, c'est précisément parce que je me les représente toujours par le treillis de leurs sous-groupes.
Pour illustrer, voilà comment je vois les 1er et 2ème théorèmes d'isomorphisme.
Alain

Merci Alain et Maxtimax pour ces compléments très intéressants. Maxtimax, si je comprends bien ta dernière phrase, elle est la conséquence de ceci :

Soit $G$ un groupe. Pour tous sous-groupes $H$ et $K$ normaux dans $G$, on a :
\[ H\subseteq K \iff
\forall (x, y) \in G^2,\ \left( x \equiv y \pmod{H} \implies x \equiv y \pmod{K} \right) \]
C'est bien de ça que tu parles, n'est-ce pas ?

D'accord, merci. Si l'on se place dans le cadre d'un anneau et qu'on remplace comme tu dis "sous-groupe normal" par "idéal bilatère", il me semble qu'on ne considère alors que les congruences compatibles avec les deux lois de l'anneau. Donc ça doit exclure par exemple la relation de congruence modulo $(D_n(K), +)$ dans $(M_n(K), +, \times )$, avec $K$ corps commutatif et $n \geq 2$.

Edit : j'ai retiré « (i.e., compatibles avec la seconde loi) » et je précise que $(D_n(K), +)$ désigne le sous-groupe des matrices diagonales de $(M_n(K), +)$.

En effet, on peut voir ça comme ça. Bon, je reprends mes diptères. ;-)