Groupes de Mersenne

leon1789
leon1789
dans Algèbre
Bonsoir

J'ai une question ouverte et pas moyen d'avancer réellement... La voici :

L'assertion suivante est-elle vraie ou fausse ? << Tout groupe d'ordre (divisant) 2^p - 1 avec p premier est cyclique >>

(2^p - 1 est un nombre de Mersenne, pas premier... sinon la question est sans intérêt)

Auriez-vous une idée ? Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une réponse positive donnerait aussi une réponse positive à la question : "Est-ce que tous les nombres de Mersenne $2^p-1$ ($p$ premier) sont sans facteur carré" (problème ouvert assez connu).
  • leon1789
    leon1789
    Oui, en effet, ce serait un corollaire. C'est d’ailleurs une question que je me suis posée pour commencer ma réflexion sur la question...
    Ce serait donc un problème ouvert assez connu : ha, voilà une information ! une référence ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je remarque que tu n'oses pas dire d'où te vient ta question ouverte ... :-D
    Pour des références au problème ouvert sur les nombres de Mersenne, il suffit de taper "Mersenne number squarefree" dans ton moteur de recherche préféré.
  • leon1789
    leon1789
    GaBuZoMeu écrivait:
    > Je remarque que tu n'oses pas dire d'où te vient ta question ouverte ... :-D

    En effet. Mais ma curiosité personnelle sur ce sujet l'emporte sur la nature de la source (source sur laquelle je me fais une meilleure idée maintenant) :-(


    GaBuZoMeu écrivait:
    > Pour des références au problème ouvert sur les nombres de Mersenne, il suffit de taper "Mersenne number squarefree" dans ton moteur de recherche préféré.

    un conseil simple qui porte ses fruits ! Je l'avais pourtant fait, évidemment, mais en version française...
    Merci.
  • NoName
    NoName
    Ca parait un peu artificiel comme question, non?
    Et un contre exemple n'infirmerait pas la conjecture sur la square-free-ité des nombres de Mersenne. Éventuellement un $2^p-1$ peut avoir deux facteurs premiers avec l'un congru à 1 mod l'autre. J'ai un peu la flemme de faire le test :-/
  • leon1789
    leon1789
    Que veux-tu dire par "artificiel" ?

    En effet, j'ai aussi cherché un nombre premier p tel que $2^p-1$ se décompose en facteurs congrus comme tu as dit. Mais je n'ai rien trouvé...
  • NoName
    NoName
    Ben... artificiel, pas naturel.
    Je vois mal comment ca pourrait etre une autre question qu'une question d'arithmétique puisque le résultat porte sur les "ordres des groupes" et pas sur les groupes en eux même. Du coup la condition porte sur une propriété arithmétique des facteurs premiers d'un nombre de Mersenne, formuler cette propriété arithmétique en terme de groupe, m'a l'air complètement artificiel, ou alors tu as une raison de formuler la question de cette façon?

    Comme si je disais "la limite d'une suite qui converge vers son nombre de valeurs d'adhérences" pour dire "1" quoi.

    Bref, c'était plutot sur "pourquoi tu te poses cette question qui me parait bien artificielle" en fait que portait mon interrogation. =)
  • NoName
    NoName
    Cela dit il y a ptetr un argument de theorie de groupe, et la propriété invoquée a du sens. Dans ce cas là, tu peux ignorer ma remarque.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    leon1789 est un cachottier. ;-)
    Il ne veut toujours pas dire que cette question vient de Dattier (exclu de ce forum où il intervenait sous le pseudo pourexemple).
    Il semble que Dattier prétend avoir la réponse à cette question. Bien sûr, ce n'est pas exclu. Mais je suis absolument convaincu que soit il bluffe, soit il "pense" avoir une démonstration - avec un gros trou.
  • Math Coss
    Math Coss
    Vous demandez trop aux facteurs de $2^n-1$.

    Pour $n=6$, on a $2^n-1=3^2\times7$. Comme on peut construire un produit semi-direct non trivial $\Z/3\Z\ltimes\Z/7\Z$ (par exemple les fonctions affines $x\mapsto ax+b$ pour $(a,b)\in K\times\Z/7\Z$, où $K=\{a^2,\ a\in(\Z/7\Z)^\times\}=\{1,2,4\}$), on peut former le groupe non abélien $\Z/3\Z\times(\Z/3\Z\ltimes\Z/7\Z)$.

    Edit : Oups, je n'ai pas pris en compte la contrainte « $n$ premier »...
  • leon1789
    leon1789
    NoName écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1697278,1697486#msg-1697486
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Non, je n'ai pas de formulation particulière.
    On pourrait se demander si un groupe d'ordre p premier est cyclique (évidemment, c'est le cas), cela ne me semble pas artificiel. B-)
    Ici, le groupe est d'ordre $2^p-1$, mais c'est la même question.

    Après, je ne sais pas si l'assertion est vraie ou fausse. Démontrer l'un ou l'autre ne se fera pas de la même manière. L'arithmétique aura un rôle, c'est clair. Mais je ne suis pas convaincu qu'il n'y aura uniquement que de l'arithmétique dans une éventuelle réponse...
    > Bref, c'était plutôt sur "pourquoi tu te poses cette question qui me parait bien artificielle" en fait que portait mon interrogation. =)
    Parce que j'y ai réfléchis un certain temps, et je n'arrive pas à avancer... comme je le disais dans mon premier message.
    Maintenant, je commence à comprendre pourquoi je n'arrive pas à prouver que l'assertion est vraie, suite à ce qu'à indiqué GBZM.
    Alors, maintenant, je me demande si elle ne serait pas fausse... Mais là, un exemple ??? baf...
  • claude quitté
    claude quitté
    Hello,
    Minuscule contribution

    1. Soit $N \ge 2$ un entier. Tout groupe d'ordre $N$ est cyclique si et seulement si $N \wedge \varphi(N) = 1$ où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler.

    2. Soit $q$ un premier tel que $q^2 \mid 2^p -1$ avec $p$ premier. Alors $q$ est un premier de Wieferich i.e. $2^{q-1} \equiv 1 \bmod q^2$. On n'en connaît que deux JE CROIS, à savoir $q = 1093$ et $q = 3511$ ; et ces deux premiers ne peuvent diviser un nombre de Mersenne (sous-entendu à exposant premier). Cf https://msp.org/pjm/1967/22-3/pjm-v22-n3-p15-p.pdf et https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Klyve/klyve3.pdf
  • claude quitté
    claude quitté
    Hello,
    Un papier récent sur les nombres premiers de Wieferich https://arxiv.org/abs/1712.08166. Note : je ne peux pas juger du contenu.
  • leon1789
    leon1789
    Merci Claude,
    le point 1. montre que l'on peut traiter la question avec uniquement de l'arithmétique.

    Et de plus, j'ai renoncé à chercher un nombre de Mersenne avec facteur carré. :-D
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