Un problème de polynômes

kal8578
kal8578
dans Algèbre
Bonjour à tous,
j'ai à nouveau besoin d'aide sur un exercice.
L'énoncé est le suivant:

Soit P un polynôme unitaire à coefficients réels, dont toutes les racines complexes sont de module supérieur ou égal à 1.
Montrer que si P(0)=-1, alors P(-1)=0.

J'ai l'impression que cette implication est fausse...
Un contre-exemple :
P(X)=X-1
- P est à coefficients réels
- La seule racine de P est 1 de module 1
- P(0)=-1

et... P(-1)=-2

Une idée ?

Merci d'avance,
Kal8578

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Avec $ P(x)=-x^2-1$ ça ne marche pas et on a deux racines non réelles de module $1.$
    Il faut changer l'énoncé.
  • kal8578
    kal8578
    D'accord,
    merci YvesM de me conforter dans cette impression.
    Je propose donc les modifications suivantes :

    - Degré de P impair en hypothèse: sinon pas de raison d'avoir une racine réelle
    - Montrer que P(1)=0

    Cela semble marcher en écrivant le polynôme sous forme scindée par d'Alembert Gauss, en montrant qu'il admet au moins une racine réelle, puis que cette racine réelle doit être 1 par relations coefficients-racines.

    Est-ce juste ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Toujours pas. Contre exemple : $P(z)=z^3+z-1$ unitaire, de degré impair, $P(0)=-1$, et dont les racines complexes ont un module supérieur ou égal à $1$ et $P(1)\neq 0.$
  • Cidrolin
    Cidrolin
    La racine qui vaut environ 0.68232780382801932736948 est bien aussi un complexe ?
  • kal8578
    kal8578
    Rebonjour,

    Je suis de l'avis de Cidrolin, il faut comprendre racines complexes comme toutes racines dans C je crois.

    D'ailleurs, mon hypothèse de degré impair est inutile si on comprend ainsi l'énoncé, puisque alors on peut bien montrer que P(1)=0 (j'enverrai une photo de ma preuve écrite si j'arrive à remettre la main sur mon téléphone).
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu as raison : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients réels dont tous le racines complexes sont de module supérieur ou égal à $1$ et si $P(0)=-1$, alors $P(1)=0$. Pas besoin d'imposer quoi que ce soit sur le degré de $P$.

    Pour le montrer, voici des étapes possibles :
    • toutes les racines de $P$ sont de module $1$ ;
    • $P$ admet une réelle dans $\R^+$ ;
    • cette racine est $1$.

    Edit : rectification du signe.
  • kal8578
    kal8578
    Ok, merci Math Coss !

    Si je peux me permettre, tu as une typo dans l'énoncé que tu as donné : c'est P(1)=0 que tu conclus.

    Et re-merci, car j'avais la même preuve, et donc plus besoin de chercher mon portable pour prendre un photo.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Math coss : $ P(z)=z-1$ ?

    Donc la typo doit être corrigée en $P(1)=0$... et c’est cohérent.
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