Lignes de niveau

Nounouvch
Nounouvch
dans Algèbre
Bonjour, j'ai trouvé dans le chapitre Géométrie élémentaire de l'espace un paragraphe sur les lignes de niveau et je voudrais savoir à quoi cela sert ? Merci

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    À représenter le relief sur les cartes.79376
  • Poirot
    Poirot
    Pour détailler un peu plus, dans le cas d'une carte, on représente souvent des lignes de niveau de la fonction altitude $h : (x,y) \mapsto \text{ l'altitude en } (x,y)$. Les sommets, les creux et les cols sont alors facilement repérables.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ça sert à poser des exercices ... sur les lignes de niveau.

    Plus sérieusement, l'idée est de retrouver en géométrie un analogue des lignes de niveau des topographes. Donc des ensembles de points où une certaine expression, géométrique ou pas, est constante (constante fixée); puis en faisant varier la constante, on a un ensemble de lignes de niveau qui ne se coupent pas (pourquoi ?).
    On peut de la même façon, dans l'espace, définir des surfaces de niveau.

    Cordialement.

    NB : Quand on apprend les maths, la question "à quoi ça sert ?" est une façon de refuser d'apprendre tout de suite, d'éviter de regarder de près. Bien entendu, ce qu'on voit en maths sert ... en maths. le problème, c'est qu'il y a plein de choses qui pourraient servir mais qu'on n'apprend pas, parce que personne ne sait faire (ou, rarement, on a prouvé qu'on ne peut pas).
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Est ce que ceci a une relation avec le chapitre topologie en 2eme année de prépa?
  • gerard0
    gerard0
    A priori, non. Pourquoi cette question ?
  • Lupulus
    Lupulus
    Voir l'article : http://images.math.cnrs.fr/Des-sommets-des-creux-des-cols-et-une-theorie-indomptable.html
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La variation des lignes de niveau a bien à voir avec la topologie algébrique, mais on fait rarement de la topologie algébrique en deuxième année de prépa.
  • Math Coss
    Math Coss
    Constat : quand on définit une courbe par une équation, par exemple \begin{gather*}3x-2y=1,\\x^2+(y-1)^2=6,\\y-f(x)=0,\\xy=k,\\\text{etc.,}\end{gather*}eh bien, on définit des lignes de niveau !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Autre exemple, la courbe $x^2+y^2=1$ est une ligne de niveau de
    $$f:(x,y)\longmapsto \frac{x^2+\sqrt{x^4+4y^2}}2\;.$$
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Comment avoir ce résultat?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    J'ai modifié mon message pour appeler ma fonction $f$.
    On peut raisonner par analyse-synthèse :
    1°) Analyse. Si le cercle $x^2+y^2=1$ est une ligne de niveau de la fonction $f$, alors ce niveau est $f(1,0) = {?}$ (puisque $(1,0)$ est un point du cercle).
    2°) Synthèse. Démontrer que $x^2+y^2=1$ équivaut à $f(x,y)=f(1,0)$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    D'accord merci
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Est ce bien ceci? Car j'ai du mal à suivre cette démonstration.79382
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est un cas où les lignes de niveau sont particulièrement simples : ce sont des droites parallèles.
    Les droites orthogonales au vecteur $(a,b)$ dans le plan euclidien sont les lignes de niveau de la fonction $(x,y)\mapsto ax+by$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Salut je voudrais savoir pourquoi dans l'équation de ce cercle, son rayon R n'est pas visible.Merci79386
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il se cache, mais il y est. Tu peux le retrouver et exprimer le rayon $R$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    Je dois travailler avec cette expression?79394
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu vois, Nounouvch, que cette notion de ligne de niveau recouvre des tas de situations familières.
    Pour les cercles au rayon caché, je commence le calcul : \[x^2-2\alpha x+y^2-2\beta y=(x-\alpha)^2-\cdots\]
  • Nounouvch
    Nounouvch
    donc R^2 doit être (alpha^2+beta^2)?79398
  • gerard0
    gerard0
    Nounouvch,

    tu devrais commencer à écrire en LaTeX, c'est facile. On met les formules entre des $\$$.

    Par exemple, on écrira (x-a)^2+(y-b)^2-a^2-b^2 = 0 ou (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2-\alpha^2-\beta^2 = 0 à ton choix, et entre des $\$$.

    Tu obtiendras les belles écritures : $(x-a)^2+(y-b)^2-a^2-b^2 = 0$ ou $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2-\alpha^2-\beta^2 = 0$
    Avec un clic droit sur les formules des autres écrites dans des messages, tu peux avoir le code LaTeX ("Show math as" puis "Tex command"); tu peux aussi lire les messages en mode "citer" (sans citer ensuite).

    Cordialement.
  • Nounouvch
    Nounouvch
    C'est que j'ai du mal à l'utiliser. En fait, je cherche à démontrer ce théorème par double inclusion pour la première je pourrais dire que puisque Im est un sous groupe de G2 alors c'est évident mais pour l'autre je n'arrive pas à m'en sortir. J'évite de passer par la preuve de la surjectivité car je bloque..79438
  • Amathoué
    Amathoué
    Qu’est-ce qu’une application surjective?
  • Poirot
    Poirot
    D'où est-ce que ça sort ? Peut-on vraiment parler de théorème à ce stade-là ???
  • Nounouvch
    Nounouvch
    À part l'utilisation de la définition de surjectivité, peut-on la réaliser avec double inclusion ? Pourquoi ne peut-on pas dire que c'est un théorème ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Si c’est un théorème, il vient de quelle définition de la surjectivité?? (Voir question de @Poirot!!)
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