Base d'un produit scalaire

LeoDeNohr
LeoDeNohr
dans Algèbre
Bonjour,
Je sais comment reconnaître un produit scalaire (symétrie, bilinéarité, positivité, séparation), et je connais aussi les produits scalaires usuels, mais il me manque quand même 2 "compétences" au sujet des produits scalaires, peut-être pourriez-vous m"éclairer ?

1. déterminer un produit scalaire dans une base donnée;
2. A partir d'une application reconnue comme un produit scalaire, déterminer la base dans laquelle cette expression a été écrite.

Pour le point 1, je me doute que ça va être compliqué, car tous les espaces n'admettent pas de produit scalaire, de plus c'est avant tout pour satisfaire ma curiosité, je ne crois pas que ce soit exigible en prépa (PC-5/2)...
Mais pour le point 2, j'en ai besoin pour un exercice, la base que je cherche doit être orthonormée, et de degré échelonnés... Avez-vous une méthode SVP ?

Merci,
Bonne journée.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je ne comprends pas ce que veux dire le 1 :
    Est-ce : Trouver un produit scalaire qui rend la base donnée orthogonale ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    tous les espaces n'admettent pas de produit scalaire
    Ben si, tout espace vectoriel réel admet un produit scalaire.

    Tes questions sont vraiment très floues, et on ne voit pas ce que tu cherches exactement. Je te suggère donc de les formuler sur des exemples concrets. On verra peut-être mieux ce que tu veux dire.

    Tu dis que tu as un exercice où on te demande de trouver une base orthonormale pour un produit scalaire. La réponse n'est bien entendu pas unique, loin de là. Il y a un algorithme classique qui permet de construire une base orthonormée pour un produit scalaire donné à partir d'une base donnée : Gram-Schmidt.
  • gerard0
    gerard0
    Moi, je ne comprends pas non plus le 2. La notion de produit scalaire n'est pas liée à une base. Et connaissant un espace vectoriel de dimension non nulle et une de ses bases, on peut définir une infinité de produits scalaires.

    Par exemple, un produit scalaire sur l'ensemble $C^0([0;1])$ des applications continues de $[0;1]$ dans $\mathbb R$ est donné par :
    $<f,g>=\int_0^1 f(x)g(x)\, dx$
    Et on ne connait même aucune base explicite de $C^0([0;1]).

    Donc LeoDeNohr tu dois parler de certains types d'exercices qu'on ne peut pas deviner. A toi de t'expliquer, et de donner des exemples.

    Cordialement.
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    D'accord, je comprends, je ne voulais pas détailler histoire d'être sûr d'avoir une méthode générale... ^^

    Pour le point 1, il semble donc que j'ai mal compris mon cours... tout espace réel admet un produit scalaire... Cependant, l'expression du produit scalaire ne change-t-il pas en fonction de la base dans laquelle on écrit cela ? Je pose cette question car dans mon cours il est écrit "l'expression du produit scalaire est toujours plus simple dans une base orthonormée que dans une base quelconque de l'espace"...
    Bien, alors je reformule ma question... Soit E, un espace vectoriel, le plus général possible, pas de cas particulier. Est-il possible, à mon niveau, d'en déterminer un produit scalaire ?

    Pour le point 2, mon exercice porte sur une application $f$ qui est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{2}[X] $ (vérifié préalablement). La question est : "trouver une base orthonormée de degrés échelonnés de $\mathbb{R}^{2}[X]$ pour ce produit scalaire."
    pour illustrer, voici l'application en question : $$
    f : (\mathbb{R}^{2}[X])^{2} \to \mathbb{R} ; P, Q \mapsto\sum^{n}_{k=0} P(k)*Q(k)
    $$ Peut-être ai-je mal compris la question ?

    @GaBuZoMeu, pour moi, cet algorithme permet d'orthonormaliser une base donnée, comment puis-je l'utiliser ici alors que je n'ai pas de base sur laquelle travailler ??

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  • gerard0
    gerard0
    Ta première question est trop générale ... Il est sûr qu'il existe des produits scalaires sur tous les espaces vectoriels. Comme ils ont tous des bases et que c'est facile de construire un produit scalaire à partir d'une base (et même une infinité si la dimension n'est pas nulle), c'est assez évident. De là à en définir un effectivement, dans n'importe quel cas ...
    Mais vu tes connaissances actuelles, ça n'a aucune importance.

    D'ailleurs, ton exercice porte sur une espace vectoriel assez élémentaire, de dimension 3. Donc il te suffit de prendre un vecteur non nul de $\mathbb R_2[X]$, un polynôme de degré au plus deux non nul, puis de le diviser par sa norme pour avoir un premier vecteur normé $\phi$. Ensuite tu cherches un vecteur orthogonal à $\phi$ (tu vas en trouver une infinité, tu en choisis un), que tu normes, ça te donne un deuxième vecteur $\psi$. Puis tu recommences pour avoir un troisième vecteur $\xi$ de norme 1 perpendiculaire aux deux premiers.
    C'est quand même assez élémentaire et tu aurais pu l'imaginer tout seul, non ?

    Cordialement.
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    Je vois, donc autant ne pas me prendre la tête avec le premier point...
    En effet, c'est assez élémentaire... C'est Gram-Schmidt qui est décrit là... mon erreur vient de ma stratége : je pensai qu'en faisant une suite d'opérations sur mon application, je remonterai à une éventuelle base utilisée par les créateurs de l'exercice... en fait non, l'application me sert à en créer une par moi-même...
    Merci à vous tous, j'ai enfin aboutit à un résultat :)
  • gerard0
    gerard0
    Heu ...ce que j'ai décrit n'est pas Gram-Schmidt qui part d'une base.

    Cordialement.
  • Tangara
    Tangara
    Bonjour, je ne sais pas si je suis dans le bon post mais ma question concerne aussi les produits scalaires et plus généralement les vecteurs. J'ai repris les cours pour comprendre mais je n'arrive pas à tomber sur la bonne réponse à 2 questions. Je n'ai décidément pas la méthodologie des maths surtout 15 ans après le bac.
    Je souhaite me réorienter et passer un concours d'où mes recherches (les questions étaient dans un entrainement c'est pour cela que j'ai la réponse)

    Voici le premier exercice et le développement sur lequel je suis arrivé :

    Ex1 : dans le plan muni d'un repère orthonormé, on se donne la droite d y= -2x+4 et le point A (7;5). Quelles sont les coordonnées de H le projeté de A sur d ? (réponse :(1;2)).

    Mon raisonnement : y= -2x+4 d'où 2x + y + 4 = 0 .
    Le vecteur AH doit être colinéaire à U vecteur directeur de d. U a pour coordonnées (-b ;a) d'où (-1;2) et le vecteur normal à d (qui devrait être AH) (-2;4) ou (Xh-7; Yh-5)
    De plus si AH est colinéaire à d on devrait avoir AH . U = 0 en développant : (Xh-7) x -1 + (Yh-5) x 2 = 0 ou (Xh-7) = -2 et (Yh-5) = 4

    Dans tous les cas je ne tombe pas sur le bon résultat et je ne comprend pas pouvez vous m'aiguillez ?


    Ex 2 : Soit ABC un triangle tel que la norme de AB est 8 et celle de AC est de 3. De plus le produit scalaire AB.AC = 12. Quelle est la norme de U = AB - 2AC (réponse racine de 52).

    Là encore impossible de trouver la formule pour démarrer.
    J'ai chercher produit scalaire d'un triangle : AB.AC = 1/2 (norme AB ² + norme AC² - norme (AB-AC) ² mais avec ça je n'arrive à rien.

    Là encore auriez vous une piste ou une idée du raisonnement ?
  • Amathoué
    Amathoué
    Il y a des erreurs dès le début. Ensuite, faire un dessin: $\vec{AH}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$...
  • Amathoué
    Amathoué
    Je n’ai pas bien lu la suite mais qui n’est pas bonne non plus. Effectivement, $\vec{AH} \cdot \vec{u}=0$ mais il n’y a aucune raison que $\vec{AH}$ soit le vecteur normal (edit : choisi) de $(d)$(ils sont seulement colinéaires). Par contre, $H \in (d)$...
  • Tangara
    Tangara
    Pour l'exercice 1 je pensais que le vecteur normal à une droite lui était forcément colinéaire.

    Comme dans le quizz il s'agit d'un QCM, il est peut être plus simple de calculer y pour un x donné et donc de remplacer x dans l'équation y = -2x+4 ce qui nous permet bien d'arriver au point de coordonnées (1;2).
    Si j'essaie de le résoudre par le produit scalaire, je reste bloqué sur (Xh-7) (-1) + (Yh-5)(2) = 0



    Pour l'exercice 2, la formule AB.AC = 1/2 (norme AB ² + norme AC² - norme (AB-AC) ²) est elle la bonne ? Je ne comprends cependant pas comment retrouver AB-2AC. Est il possible de développer le norme (AB-AC) ² ?

    Excusez mon ignorance.
  • Amathoué
    Amathoué
    Un vecteur normal à une droite(il faut lire un dans mon message précédent pardon) est un vecteur qui lui est orthogonal , i.e orthogonal à tout vecteur directeur de cettee droite.
    Aaah c’est un QCM! Benh oui tu templaces les coordonnées dans l’équation de $(d)$ et tu vérifies l’orthogonalité...
    Pour l’exercice suivant , développe tout simplement $||\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}||^2$.
  • Tangara
    Tangara
    En développant je trouve effectivement la réponse puisque j'obtient norme de AB² - 4 AB.AC + 4 norme de AC ² et donc racine de 52
    Mais comment arrive t'on à trouver qu'il faut mettre AB-2AC au carré ? Est ce à savoir "par cœur" ou cela provient il d'une formule et dans ce cas laquelle (est une application de la norme d'un vecteur = racine de x²+y² ?


    Je reviens aussi à l'exercice 1 car effectivement c'est un QCM, mais je vais quand même essayer de mémoriser la méthodologie et de comprendre comment à partir des données j'arrive à retrouver les coordonnées de H.
  • Amathoué
    Amathoué
    Eh bien , $||\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}||=\sqrt{(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC})}$.
    Sinon ta méthode qui consiste à partir des normes aboutit aussi...
  • Amathoué
    Amathoué
    Je parle de ce passage :
    « AB.AC = 1/2 (norme AB ² + norme AC² - norme (AB-AC) ² mais avec ça je n'arrive à rien. »
  • Tangara
    Tangara
    Super merci beaucoup, je vais retenir ces notions et formules. Du coup on peut aussi dire que la norme d'une différence de 2 vecteurs serait racine de (U-N).(U-N) ?

    ET vais m'atteler à essayer de résoudre l'exercice 1 sans me fier aux réponses données
  • Amathoué
    Amathoué
    Oui tout à fait. Avec plaisir.

    Edit : en fait , au lieu de partir d’une norme et ensuite définir un produit scalaire par ta formule(pas évident de montrer que c’est un produit scalaire), on choisit un produit scalaire(une forme bilinéaire symétrique définie positive) puis on montre que l’application $||\cdot|| : \overrightarrow{u} \mapsto \sqrt{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}}$ est une norme.
    et la « formule » donnant la norme est alors une simple définition.
  • Tangara
    Tangara
    Alors Amathoué, je n'ai pas trop compris le message précédent des produits scalaires.


    Mais je pense avoir trouvé la solution à l'exercice 1 à savoir :
    H (a;b) projeté de A(7;5) sur d (de vecteur directeur U (1;-2) donc AH.U = 0 avec AH (a-7 ;b-5)
    donc AH.U = (a-7) + (b-5) (-2) = a - 7 + 10 - 2b d'où a-2b+3 = 0 et a = 2b-3

    Or H appartient à d donc je remplace x par a dans l'équation y = -2x+4 et j'obtient :
    -2(2b-3) + 4 = b d'où b = 2

    Je reprends a= 2b-3 = 4-3 = 1

    donc H a pour coordonnées (1;2)
  • Amathoué
    Amathoué
    « de vecteur directeur » : il y a une infinité de vecteurs directeurs, donc il vaut mieux écrire « dont un vecteur directeur est ».
    Pour mon edit, ne t’embête pas ...pas important (enfin, tu passes quel concours?).
    Pour le reste , c’est bien (tu).
  • Tangara
    Tangara
    Le concours c'est le TOSS belge pour tenter l'école vétérinaire
  • Amathoué
    Amathoué
    D’accord. A priori, mes histoires de formes bilinéaires sont superflues.(tu)
  • Tangara
    Tangara
    Oui mais c'est intéressant.

    Maintenant que je pense avoir compris, j'essai d'en faire encore. Est ce que mon raisonnement et le résultat du problème sont correctes ?

    Ex : dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne les points A(2;3) B(-1;4) et C(2;-2). Soit D le plan tel que BACD soit un parallélogramme dont les diagonales sont [B;C] et [A;D]. Quelle est la norme de AD ?

    Je pose que si c'est un parallélogramme, les cotés AB et CD sont parallèles et de même longueur et les vecteurs AB et CD sont colinéaires et de même sens.

    Je cherche les coordonnées des vecteurs AB et CD et obtient : AB (-3 ; 1) CD (a-2;b+2)
    Or AB = CD donc a-2 = -3 <=> a = -1 et b+2=1 <=> b = -1
    d'où D a pour coordonnées (-1;-1)

    j'en déduit les coordonnées de AD (-3;-4) et la norme de AD = racine ((-3)²+(-4)²) = 5
  • Amathoué
    Amathoué
    « Je pose que si c'est un parallélogramme, les cotés AB et CD sont parallèles et de même longueur et les vecteurs AB et CD sont colinéaires et de même sens. » : ils sont même égaux, mais c’est ce que tu utilises dans la suite donc ok (tu)
  • Tangara
    Tangara
    Ah je commence à y prendre gout à ces résolutions
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