Nombre de lois de compositions internes

Boole et Bill · August 2018

Bonjour à tous.
Je viens de faire un exercice qui consistait à déterminer le nombre de lois de compositions internes (je noterai l.c.i par la suite) sur $X = \{ a,b\}$ commutatives, unitaires, qui faisaient de $X$ un groupe, et qui faisaient de $X$ un groupe abélien. Je vous propose maintenant de réfléchir ensemble à l'exercice suivant : Soit $X$ un ensemble à $n$ éléments. Combien de l.c.i sur $X$ sont commutatives? Associatives? Font de $X$ un groupe? Un groupe abélien?
Merci de votre participation.

Pour commencer les recherches, je serais tenté de regarder ce qu'il se passe avec $3$ ou $4$ éléments pour voir si une formule se dégage. Sinon, il faut encore que je cherche.

edit : le titre était racoleur, je l'ai changé.

Boole et Bill · August 2018

J'ai le nombre de l.c.i commutatives : il y a pour chaque couple d'éléments égaux $n$ choix d'images possibles, et il y a $n$ de ces couples, donc $n^n$ choix possibles pour les premières images. Pour les $n(n-1)$ restant, il n'y a que $\dfrac{n(n-1)}{2}$ images à choisir, avec $n$ choix possibles à chaque fois. La réponse est donc $\left (\dfrac{n^2(n-1)}{2}\right )^n$.

Nombre de lois de compositions internes

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