Produit de normes 2 vecteurs
Bonjour,
Ma question porte sur un projecteur de matrice $$
A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$$ On considère : $x \in \mathbb{R}^{4} \setminus (Im(f) \cup \ker(f)), y \in Im(f), z \in \ker(f),\ x = y + z$
$u, v$ 2 vecteurs unitaires tels que $x = ||x||u,\ y=||y||v.$
On pose $<u, v>\, = \cos(\theta ),\ \theta \in [0; \pi ]$.
Il me faut montrer que : $\theta \in\, ]0 ; \pi [ $
Par un calcul que je ne détaillerai que si on me le demande, j'arrive au résultat $ \dfrac{-1}{ ||y||*||z||} < \cos(\theta ) < \dfrac{1}{ ||y||*||z||} $
C'est ici que je coince, je ne vois pas comment utiliser les données de l'exercice pour montrer que $\|y\|*\|z\| > 1$ et ainsi conclure. En effet rien n'empêche, a priori, d'avoir un vecteur initial de norme inférieure à 1 et donc les normes des projections aussi inférieure à 1... J'ai pensé à Cauchy-Schwarz, mais ça me donne juste que ce produit est positif...
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance
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$u, v$ 2 vecteurs unitaires tels que $x = ||x||u,\ y=||y||v.$
On pose $<u, v>\, = \cos(\theta ),\ \theta \in [0; \pi ]$.
Il me faut montrer que : $\theta \in\, ]0 ; \pi [ $
Par un calcul que je ne détaillerai que si on me le demande, j'arrive au résultat $ \dfrac{-1}{ ||y||*||z||} < \cos(\theta ) < \dfrac{1}{ ||y||*||z||} $
C'est ici que je coince, je ne vois pas comment utiliser les données de l'exercice pour montrer que $\|y\|*\|z\| > 1$ et ainsi conclure. En effet rien n'empêche, a priori, d'avoir un vecteur initial de norme inférieure à 1 et donc les normes des projections aussi inférieure à 1... J'ai pensé à Cauchy-Schwarz, mais ça me donne juste que ce produit est positif...
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Réponses
$$\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&-1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&-1&-1&1 \end{array}\right]?$$De plus on te dit que $x$ n'est ni dans le noyau, ni dans l'image, c'est a dire que ni $y$ ni $z$ ne sont nuls. Apres ca comme $y$ et $z$ sont orthogonaux (pourquoi?) on a
$$\cos^2\theta=\frac{\|y\|^2}{\|y\|^2+\|z\|^2}< 1$$ ce qui est dire que $0<\theta<\pi.$ Je n'ai rien compris a ton affaire de produit de normes.
Pour le coup, moi non-plus je ne comprend rien à ton résultat... il vient d'où s'il te plait ?
Pour le produit de normes... n'a t'on pas, grâce à la bilinéarité : $ < x , y > = < ||x||*u ; ||y||*v > = ||x||*||y||*<u|v>$ ?
$$\cos ^2\theta=\langle u,v\rangle^2=\langle \frac{x}{\|x\|},\frac{y}{\|y|\|}\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\langle y+z,y\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\langle y,,y\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\|y\|^4=\frac{\|y\|^2}{\|y\|^2+\|z\|^2}$$
Oui, j'avais oublié la propriété élémentaire que tu utilises au début de ta démonstration, je comprends mieux à présent.
Merci beaucoup
C'est... Simpliste... Décidément, je manque d'entrainement, pour ne pas voir des simplicités de ce genre...
Est-ce aussi simple pour résoudre $\frac{||f(x)||}{||x||} = \frac{1}{sin(\theta )}$ ? Je reste coincé là-dessus...
Pour moi, il n'y a pas d'égalité... Je m'explique :
la question est de démontrer $\frac{||f(x)||}{||x||} \le \frac{1}{sin( \theta )}$ dans un premier temps, ce qui est immédiat, PUIS de démontrer qu'il existe un cas d'égalité... Or la question se résout en démontrant une inégalité stricte, l'inégalité large étant obtenue par inclusion... En fait, pour moi, on a surtout : $\frac{||f(x)||}{||x||} < \frac{1}{sin( \theta )}$
Est-ce cela que signifie "contractant" ?
EDIT
Après recherche rapide, je vois qu'une application contractante est une application $k$-lipschitzienne avec $k < 1$... dois-je déduire de la remarque Qu'une projection est forcément $k$-lipschitzienne ? Comment le voir sur la matrice ??
$$\|x\|^2-\sin^2 \theta\|y\|^2=(a+b\cos \theta)^2+b^2\sin ^2 \theta-a^2\sin ^2 \theta=(a \cos \theta +b)^2\geq 0$$