Produit de normes 2 vecteurs

LeoDeNohr
LeoDeNohr
dans Algèbre
Bonjour,
Ma question porte sur un projecteur de matrice $$
A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$$ On considère : $x \in \mathbb{R}^{4} \setminus (Im(f) \cup \ker(f)), y \in Im(f), z \in \ker(f),\ x = y + z$
$u, v$ 2 vecteurs unitaires tels que $x = ||x||u,\ y=||y||v.$
On pose $<u, v>\, = \cos(\theta ),\ \theta \in [0; \pi ]$.
Il me faut montrer que : $\theta \in\, ]0 ; \pi [ $

Par un calcul que je ne détaillerai que si on me le demande, j'arrive au résultat $ \dfrac{-1}{ ||y||*||z||} < \cos(\theta ) < \dfrac{1}{ ||y||*||z||} $
C'est ici que je coince, je ne vois pas comment utiliser les données de l'exercice pour montrer que $\|y\|*\|z\| > 1$ et ainsi conclure. En effet rien n'empêche, a priori, d'avoir un vecteur initial de norme inférieure à 1 et donc les normes des projections aussi inférieure à 1... J'ai pensé à Cauchy-Schwarz, mais ça me donne juste que ce produit est positif...
Avez-vous des idées ?
Merci d'avance :)

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Réponses

  • P.
    P.
    Ne serait ce pas plutot ta matrice
    $$\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&-1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&1&1&-1\\ -1&-1&-1&1 \end{array}\right]?$$De plus on te dit que $x$ n'est ni dans le noyau, ni dans l'image, c'est a dire que ni $y$ ni $z$ ne sont nuls. Apres ca comme $y$ et $z$ sont orthogonaux (pourquoi?) on a

    $$\cos^2\theta=\frac{\|y\|^2}{\|y\|^2+\|z\|^2}< 1$$ ce qui est dire que $0<\theta<\pi.$ Je n'ai rien compris a ton affaire de produit de normes.
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    effectivement je me suis trompé pour la matrice.
    Pour le coup, moi non-plus je ne comprend rien à ton résultat... il vient d'où s'il te plait ?
    Pour le produit de normes... n'a t'on pas, grâce à la bilinéarité : $ < x , y > = < ||x||*u ; ||y||*v > = ||x||*||y||*<u|v>$ ?
  • P.
    P.
    Que puis je dire? Puisque $y$ et $z$ sont orthogonaux $\|x\|^2=\|y\|^2+\|z\|^2.$ Ensuite


    $$\cos ^2\theta=\langle u,v\rangle^2=\langle \frac{x}{\|x\|},\frac{y}{\|y|\|}\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\langle y+z,y\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\langle y,,y\rangle^2=\frac{1}{\|x\|^2\|y\|^2}\|y\|^4=\frac{\|y\|^2}{\|y\|^2+\|z\|^2}$$
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    AH !
    Oui, j'avais oublié la propriété élémentaire que tu utilises au début de ta démonstration, je comprends mieux à présent. :)

    Merci beaucoup :D
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    Oh mais... je viens de tilter... mon projecteur N'EST PAS orthogonal... en effet, sa matrice associée n'est [pas] égale à sa transposée, donc ça n'est pas une projection orthogonale...de plus, $Im(A)$ et $\ker(A)$ ne sont pas orthogonaux, en effet si je prends un vecteur de la base de chacun de ces espaces, ces 2 vecteurs ne sont pas orthogonaux. Donc en fin de compte, $y$ et $z$ ne sont pas non-plus orthogonaux, donc ta démonstration ne tiens pas, @P. ... :(
  • P.
    P.
    Bof, tu as besoin de montrer que si $u$ et $v$ sont unitaires et non colineaires alors $\langle u,v\rangle^2<1.$ Sers toi de $\|u \pm v\|^2>0.$
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    ...
    C'est... Simpliste... Décidément, je manque d'entrainement, pour ne pas voir des simplicités de ce genre...
    Est-ce aussi simple pour résoudre $\frac{||f(x)||}{||x||} = \frac{1}{sin(\theta )}$ ? Je reste coincé là-dessus... :/
  • P.
    P.
    Hum, pas tres contractant pour une projection.
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    Contractant ? ça veut dire quoi ??
    Pour moi, il n'y a pas d'égalité... Je m'explique :
    la question est de démontrer $\frac{||f(x)||}{||x||} \le \frac{1}{sin( \theta )}$ dans un premier temps, ce qui est immédiat, PUIS de démontrer qu'il existe un cas d'égalité... Or la question se résout en démontrant une inégalité stricte, l'inégalité large étant obtenue par inclusion... En fait, pour moi, on a surtout : $\frac{||f(x)||}{||x||} < \frac{1}{sin( \theta )}$

    Est-ce cela que signifie "contractant" ?
    EDIT
    Après recherche rapide, je vois qu'une application contractante est une application $k$-lipschitzienne avec $k < 1$... dois-je déduire de la remarque
    P. a écrit:
    Pas très contractant pour une projection.
    Qu'une projection est forcément $k$-lipschitzienne ? Comment le voir sur la matrice ??
  • P.
    P.
    Erreur de ma part, les projections obliques ne sont pas necessairement contractantes. Definissons $w$ unitaire orthogonal a $u$ tel que $v=\cos \theta \ u+\sin \theta\ w.$ Si $x=au+bv$ alors $y=au=f(x)$ et
    $$\|x\|^2-\sin^2 \theta\|y\|^2=(a+b\cos \theta)^2+b^2\sin ^2 \theta-a^2\sin ^2 \theta=(a \cos \theta +b)^2\geq 0$$
  • LeoDeNohr
    LeoDeNohr
    Oki, oki... merci beaucoup :)
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