Objets libres
Réponses
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Tu as déjà entendu parler des polynômes non commutatifs ?
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Pourquoi veux-tu à tout prix quotienter un groupe abélien libre pour obtenir l'anneau libre ? :-X
Plus sérieusement, le problème du passage $\N$ à $\Z$ est que $\N$ a déjà une structure multiplicative. Donc ça n'a pas grand chose à voir.
Ok déjà pour clarifier, on va dire qu'au moins au début, anneau sera anneau commutatif unitaire.
Pour faire l'anneau libre sur $X$, ton anneau est un anneau donc il contient $0,1, 2,...$, etc il contient donc $\Z$ (exercice : un anneau libre est de caractéristique nulle ). Ensuite pour $x\in X$, il contient $x,x^2,...$, $x^n$ pour $n\in \N$, et aussi les $nx^i$ pour $n\in \Z$. Si on a aussi $y\in X$, alors il contient les $x^i y^j$. Exercice (que je n'énonce pas précisément) : tous ces machins là sont différents si $x\neq y$. Il contient aussi les $nx^iy^j$. En fait plus généralement si $x_1,...,x_n\in X$, notre anneau libre contient les.... (fill in the gap)
Et ensuite, exercice, l'anneau libre est engendré par $i(X)$ donc il ne contient que ces gens là et leurs sommes (qui ne se simplifient pas). Ensuite la multiplication est définie de manière évidente.
Si tu es d'accord avec tout ?a, que tu sais faire les exercices que j'ai laissés, tu peux essayer d'en donner une description formelle (si "les sommes formelles de machin" ne te suffit pas); si tu n'arrives pas à cette description je te l'indiquerai -
Non, ça ne me dit rien... en vrai même les polynômes en plusieurs indéterminées, ce n'est pas quelque chose que je connais bien. Je connais $A[X]$ où $A$ est un ACU... et en cours j'ai dû voir 2-3 fois une construction de $A[X,Y]$ où on s'était persuadés que $A[X][Y] = A[Y][X]$, ie qu'un polynôme en $X,Y$ peut être vu comme un polynôme en $Y$ à coefficients dans l'ACU $A[X]$ ou vice-versa. S'il faut définir les polynômes sur un anneau non commutatif ou considérer que les indéterminées ne commutent pas entre elles, là non j'y connais rien.
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Pourquoi je veux qu'il soit obtenu à partir du groupe abélien libre ? Ce n'est pas ce que je veux, mais je pensais qu'on m'avait dit de chercher le groupe abélien libre en "étape intermédiaire" pour mieux comprendre d'où sort l'anneau libre en fait. Si c'est pas ça, faut pas t'énerver, j'avais mal compris, c'est tout :-D
L'anneau "contient $\mathbb{Z}$ parce que c'est un anneau" ??? -
Tu crois vraiment que tout anneau contient $\mathbb Z$ ? :-D
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Non l'étape intermédiaire c'était pour t'habituer au truc (je ne suis pas convaincu de l'utilité, mais passons)
Eh bien tout anneau contient $\Z$, non ? :-D ou en tout cas un de ses quotients, mais quand l'anneau est de caractéristique nulle (ce que je t'ai laissé en exercice dans ce cas-ci) c'est bien $\Z$
@Poirot: tu ne le crois pas toi ? ::o -
Je ne comprends pas ce que Maxtimax a dit.
EDIT : d'accord, c'est une question de caractéristique. Le seul truc qui m'embrouille c'est entre "contient $\mathbb{Z}$" et "contient une copie de $\mathbb{Z}$". Comme là je ne suis pas (encore) en terrain très connu ça m'a légèrement perturbé de ne pas voir le mot "copie", c'est tout.
EDIT' : oui le dernier post de Poirot m'a surpris, ou plutôt ce qui m'a surpris c'est qu'il ne semblait pas être d'accord avec toi, ça m'a légèrement perturbé. -
Pas tout lu. Juste pour ajouter que j'ai appris à super bien aimer les catégories - et les objets libres en particulier - à la lecture de Robert Geroch, Mathematical Physics. (Oui, c'est en anglais.) (Non, ça ne parle pas beaucoup de physique, et bien plus de maths.)
Concernant les objets libres, je pense qu'il faut systématiquement considérer qu'un monoïde libre sur un ensemble $S$, par exemple, n'est pas un monoïde $M$, mais un couple $(M, \alpha)$, avec $\alpha: S \to M$. Et on ne doit pas parler DU monoïde libre sur $S$, mais d'UN monoïde libre sur $S$, tous les monoïdes libres étant isomorphes (d'un isomorphisme qui conserve l'application $\alpha$). En principe, pour être complet, il faut aussi spécifier les catégories impliquées et le foncteur entre ces catégories; ici, il s'agit du foncteur qui à un monoïde fait correspondre l'ensemble de ses éléments. Au total c'est un peu lourd, mais quand on a saisi le truc ça s'applique un peu partout. -
@Homo Topi: Tout anneau NON TRIVIAL contient une copie de $\Z$.
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Bonjour,
Même $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?
Cordialement,
Rescassol -
@DavidOlivier : dans tous les cas, ta correction est non pertinente... En effet, soit tu entends "une copie de $\Z$" comme "copie isomorphe de $\Z$", auquel cas ta phrase est fausse, soit tu entends "une copie de $\Z$" comme "copie isomorphe d'un quotient de $\Z$", auquel cas la précision "non trivial" est inutile, puisque l'anneau trivial est isomorphe à $\Z/\Z$
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@Maxtimax Je disais ça pour voir si tu suivais... (:P)
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Je reviens enfin ici...
Au sujet de ce que disait Maxtimax : Montrons que tout anneau (unitaire, mais pas forcément commutatif) libre est de caractéristique nulle.
Lemme : Si $A$ et $B$ sont deux anneaux unitaires, et s'il existe un morphisme d'anneaux unitaires $\mu : A \longrightarrow B$, alors $\text{car}(B)$ divise $\text{car}(A)$.
Démonstration :
1) Si $\text{car}(A) = 0$, c'est trivial car tout entier divise $0$.
2) Supposons $\text{car}(A) = p > 0$. Alors $\mu(\chi(p)) = \mu(0) = 0$ donc $p \in q \mathbb{Z}$, d'où on tire à la fois que $q > 0$ (sinon $q \mathbb{Z} = 0 \mathbb{Z} = \{0\}$ et donc $p \notin q \mathbb{Z}$ car $p > 0$) et que $q = \text{car}(B)$ divise $p = \text{car}(A)$.
Application :
Si $(L,i)$ est un anneau unitaire libre sur un ensemble $X$, alors pour tout anneau unitaire $A$ et pour toute application $f : X \longrightarrow A$, il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $\varphi : L \longrightarrow A$ tel que $f = \varphi \circ i$. Comme pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ est un anneau unitaire de caractéristique $n$, on a un morphisme d'anneaux unitaires de $L$ vers tout $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ (on peut prendre à peu près n'importe quelle application de $X$ vers $A$, je pense). Donc $\text{car}(L)$ est divisible par tout entier naturel non nul, ce qui implique que $\text{car}(L) = 0$.
(en effet, par contraposée : si $\text{car}(L) \neq 0$, il existe un entier $N \in \mathbb{N}^*$ qui ne divise pas $\text{car}(L)$, il suffit de prendre $N = \text{car}(L) +1$)
On considère $A = \mathbb{Z}$, n'importe quelle application $f : X \longrightarrow \mathbb{Z}$, alors on a un morphisme d'anneaux unitaires de $L$ vers $\mathbb{Z}$ et donc $0 = \text{car}(\mathbb{Z})$ divise $\text{car}(L)$, ce qui impose que $\text{car}(L) = 0$ car le seul entier divisible par $0$ est $0$ lui-même. -
Ça marche (en particulier ta phrase en rouge est très bien) mais tu as plus simple : quels sont les entiers que $0$ divise ?
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Pfff, je me suis compliqué la vie, il aurait suffi que je regarde $\mathbb{Z}$. Il faut alors que $\text{car}(L)$ soit divisible par $0$, or le seul entier divisible par $0$ est $0$ et c'est réglé.
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Exactement
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Bon alors... Je vais pour l'instant prendre 2-3 précautions de plus que Maxtimax au niveau des notations mais :
Je note $(L, \star, \diamond)$ mon anneau unitaire, $0$ et $1$ les neutres respectifs et $i : X \longrightarrow L$ l'application qui fait de $(L,i)$ un anneau unitaire libre sur $X$. Je note aussi $\chi : \mathbb{Z} \longrightarrow L$ l'application $n \longmapsto 1 \star ... \star 1$ ($n$ fois) de sorte à pouvoir noter $\chi(n)$ les éléments de la "copie" de $\mathbb{Z}$ que $L$ contient.
Pour $x \in X$, $L$ contient :
1) $\chi(n) \diamond i(x) := i(x)$ $\star$ ... $\star$ $i(x)$ ($n$ fois) pour tout $n \in \mathbb{Z}$.
2) $i(x)^n := i(x)$ $\diamond$ ... $\diamond$ $i(x)$ ($n$ fois) pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ne peut pas dire $\mathbb{Z}$ ici car on n'a pas forcément l'inversibilité pour la multiplication $\diamond$.
3) $\chi(n) \diamond i(x)^k = i(x)^k$ $\star$ ... $\star$ $i(x)^k$ ($n$ fois) en combinant les deux points précédents.
Ces éléments sont des éléments de l'idéal $\langle i(x) \rangle$ engendré par $i(x)$, qui est l'ensemble des sommes $\chi(m_1) \diamond i(x)^{k_1}$ $\star$ ... $\star$ $\chi(m_n) \diamond i(x)^{k_n}$.
Mais il faudra aussi considérer de tels idéaux engendrés par plusieurs éléments. Je ne détaille pas (car : flemme) mais on va trouver les éléments qui "fill in the gap" de la forme $\chi(n) \diamond \displaystyle \prod i(x_k)^{m_k}$ et les sommes (avec $\star$) de ces éléments-là.
$\displaystyle \prod$ abrège évidemment les multiplications $\diamond$.
Il faudra que je le fasse proprement mais... je pense avoir compris ce que Maxtimax disait ?
EDIT : petite précision, je fais exprès d'être pointilleux sur les notations parce que, même si je n'en ai pas besoin pour comprendre "en principe", quand j'aurai une description explicite d'un anneau libre, j'en aurai besoin pour faire les choses à la main. -
Je n'avais pas tout fait dans ce que Maxtimax proposait. Il y a en particulier cet exercice :
Si $(A,i)$ est un anneau libre sur $X$ (donc de caractéristique $0$, en particulier), et si $x$ et $y$ sont deux éléments distincts de $A \setminus \{0\}$ (si on autorise $0$ c'est faux...), montrer que $x^i y^j \neq x^k y^l$ dès que $i \neq k$ et $j \neq l$ (avec $i$, $j$, $k$, $l$ dans $\mathbb{N}^*$).
Du moins je pense que c'est ça qu'il veut me faire démontrer.
Je ne vois pas trop comment on fait ça... je ne sais pas trop par où commencer. Un indice :-S -
Je pense plutôt que c'est $x^i y^j\neq x^k y^l$ dès que $(i,j)\neq (k,l)$ (ce qui n'est pas ce que tu as écrit), pour $x,y\in X$ distincts. C'est évidemment faux si tu prends $x,y\in A$ (même non nuls).
Il faut évidemment utiliser la définition. L'idée d'un machin libre est qu'une relation vraie dans un machin libre le sera dans tout machin. Il faut donc se ramener au cas d'un anneau où on sait calculer facilement.
Je te conseille plutôt de supposer $x^i y^j=x^ky^l$ et d'en déduire que $(i,j)=(k,l)$.
Si tu aimes les polynômes en plusieurs indéterminées commutatives ,
tu prends une application $X\to \mathbb{Z}[U,V]$, par exemple, qui envoie $x$ sur $U$ et $y$ sur $V$, et les autres éléments de $X$ sur ce que tu veux. Et alors, on obtient un joli morphisme de $A$ dans $\mathbb{Z}[U,V]$ qui le prolonge. Et alors ...
(et si tu n'aimes pas, tu envoies $x$ sur $T$ et $y$ sur $1$ dans $\mathbb{Z}[T]$, puis...)
Mel. -
Effectivement, je me suis trompé dans ce que j'ai écrit. C'est ce que tu as écrit que j'avais en tête.
Et les polynômes en plusieurs indéterminées, c'est justement une des raisons pour lesquelles j'ai commencé tout ce bazar sur les objets libres... c'est même la raison principale ! J'espère que ce fil de discussion finira par me donner une définition avec laquelle j'arrive à travailler.
EDIT : encore, le cas où les indéterminées commutent, ça va :-)
Juste un détail :
Si mon anneau est libre à $n$ générateurs (c'est bien comme ça qu'on dit pour dire que l'ensemble $X$ sur lequel il est libre contient $n$ éléments ?), et que $n > 2$... le fait de vérifier que $x^i y^j \neq x^k y^l$ pour tout couple $(x,y)$ va suffire à montrer qu'en toute généralité, $x_1^{i_1} ... x_n^{i_n} \neq x_1^{j_1} ... x_n^{j_n}$ dès que $(i_1 ,..., i_n) \neq (j_1 ,..., j_n)$, c'est ça ? Parce que la multiplication est associative ? -
Je confirme ce que dit melpomène.
Cela va suffire parce que la preuve sera la même. Que penses-tu de $x\mapsto 2, y\mapsto 3$ par exemple ($2,3\in \Z$) ? (Cela t'évite de parler de polynômes tout court pour un truc si élémentaire) -
Je viens seulement de comprendre que melpomène a dit un truc que j'aurais dû comprendre depuis des semaines...
Si $L$ est un machin libre sur $X$, ça veut dire que pour toute application $f$ définie sur $X$ et à valeurs dans un machin, il existe un et un seul morphisme de machins qui prolonge $f$ à $L$ (via l'injection $i : X \longrightarrow L$).
Comme quoi c'est pas parce qu'on a vu des diagrammes commutatifs pendant plusieurs semestres qu'on a compris ce qu'ils veulent dire... :-(
Je vais essayer de m'en sortir avec vos indices. -
Ah bah oui, $\mathbb{Z}$ suffit effectivement, suis-je bête!
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@melpomène : pire encore, même ce que j'ai proposé dans mon dernier message se complique la vie: vois-tu pourquoi ? (Je pense que tu le verras assez vite, je pose surtout la question pour Homo Topi)
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Si on appelle $f$ ton application $x \longmapsto 2$, $y \longmapsto 3$ (disons qu'elle envoie le reste de $X$ sur $1$...), et qu'on note $\varphi$ le morphisme d'anneaux unitaires qui la prolonge :
Si $x^i y^j = x^k y^l$, alors $\varphi(x^i y^j) = \varphi (x^k y^l)$, ce qui donne $\varphi(x)^i \varphi(y)^j = \varphi(x)^k \varphi(y)^l$, c'est-à-dire $2^i 3^j = 2^k 3^l$, d'où par unicité de la décomposition en facteurs premiers $i=k$ et $j=l$.
J'ai du mal à voir comment tu veux faire encore plus simple que ça. Je demande à voir.
Remarque, pour généraliser ce que je viens d'écrire, si $X$ n'est pas dénombrable, ne risque-t-on d'avoir des problèmes ? Je sais qu'il y a une infinité de nombres premiers mais mon argument d'unicité de la décomposition en facteurs premiers nécessite qu'on prenne une application qui associe à chaque élément de $X$ un nombre premier, et si $X$ est indénombrable, je ne suis pas sûr qu'on en aura assez... donc ma méthode n'est pas géniale. -
Relis ce que tu as écrit (qui est correct !) et tu verras que la cardinalité de $X$ ne rentre absolument pas en jeu.
De même relis ce que tu as écrit (en particulier une de tes parenthèses) et tu verras comment faire plus simple; comment adapter à $x_1^{i_1}...x_n^{i_n}$ et comment cette adaptation se fiche toujours du cardinal de $X$ -
Alors attends...
Ce que je veux montrer, dans l'absolu, c'est :
Pour tout entier $n$ non nul :
Pour tout $n$-uplet $(x_1 ,..., x_n)$ d'éléments deux à deux distincts de $X$
Pour tous $n$-uplets de puissances strictement positives $(i_1 ,..., i_n)$ et $(j_1 ,..., j_n)$
Si $x_1^{i_1}...x_n^{i_n} = x_1^{j_1}...x_n^{j_n}$ alors $(i_1 ,..., i_n) = (j_1 ,..., j_n)$
Du coup, comme à chaque fois on n'a que des $n$-uplets, effectivement, pas de problème de cardinalité.
On prend $f$ qui envoie $x_k$ sur le $k$-ième nombre premier (et les autres éléments de $X$ sur $1$), on utilise la propriété d'anneau unitaire libre pour avoir un morphisme comme j'ai fait avant, et l'unicité de la décomposition nous donne l'égalité des deux $n$-uplets de puissances. Ça marche en toute généralité, pas de soucis de cardinaux.
Cependant, je ne vois pas comment tu veux faire encore plus simple que cette méthode. Je suis curieux... -
Bien ! Alors écrit comme ça (i.e. sans négation ) c'est sûrement le plus simple, mais tel qu'écrit avant (si $(i_1,...,i_n)\neq (j_1,...,j_n)$ alors blabla) il y a effectivement plus simple
Et tu as remis dans une parenthèse ce qui permet de simplifier :-D que veut dire $(i_1,...,i_n)\neq (j_1,...,j_n)$ ? -
Allez, encore plus simple ! On se fixe un $i$, et on envoie $x_i$ sur $2 \in\mathbb{Z}$ et tous les autres éléments de $X$ sur $1$ ;-)
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J'étais parti sur le raisonnement dans l'autre sens, où on ne peut probablement pas faire encore plus simple.
Mais : si on raisonne dans le sens $(i_1 ,..., i_n) \neq (j_1 ,..., j_n) \Longrightarrow x_1^{i_1}...x_n^{i_n} \neq x_1^{j_1}...x_n^{j_n}$, et qu'on envoie un seul des $x_k$ sur autre chose que $1$, on peut très bien avoir $i_k = j_k$ même si $(i_1 ,..., i_n) \neq (j_1 ,..., j_n)$, et dans ce cas, je ne vois pas comment on va s'en sortir.
EDIT : quoique (c'est trop tôt pour mon cerveau, ce matin). Si $(i_1 ,..., i_n) \neq (j_1 ,..., j_n)$, alors il existe un indice $k$ tel que $i_k \neq j_k$. Il suffit alors d'envoyer l'élément $x_k$ ayant ce même indice $k$ sur autre chose que $1$. -
Pour montrer que l'anneau libre est engendré par $i(X)$, j'aimerais avoir un indice. On a montré à la main que l'anneau engendré par $i(X)$ est un sous-anneau de l'anneau libre, mais de là à montrer que c'est l'anneau libre en entier, je ne vois pas.
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Montre qu'en notant $j$ la corestriction de $i$ à l'anneau engendré par $i(X)$, $B$ ledit anneau engendré, alors $(B,j)$ est libre sur $X$ (l'existence et l'unicité des morphismes sonr claires)
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Malin :-D
Ok, je vais essayer ça. Remarque : c'est la première fois que je me servirai de la corestriction d'une application ! Ça ne m'a jamais servi avant ! J'aime bien quand les trucs servent à quelque chose. -
Donc :
Soit $(A,i)$ l'anneau unitaire libre sur $X$. Pour tout anneau unitaire $\mathcal{A}$, pour toute application $f : X \longrightarrow \mathcal{A}$, il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $\mu : A \longrightarrow \mathcal{A}$ tel que $f = \mu \circ i$.
Soit $B$ le sous-anneau de $A$ engendré par $i(X)$. Montrons que $(B, i|^B)$ est un anneau libre sur $X$, où $i|^B$ est la corestriction de $i$ à $B$, c'est-à-dire l'unique application de $X$ dans $B$ telle que $i|^B (x) = i(x)$ pour tout $x \in X$.
Soit donc $\mathcal{A}$ un anneau unitaire et $f : X \longrightarrow \mathcal{A}$ une application. On sait qu'il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $\mu : A \longrightarrow \mathcal{A}$ tel que $f = \mu \circ i$. C'est-à-dire : $f(x) = \mu(i(x))$ pour tout $x \in X$.
Mais comme pour tout $x \in X$, $i(x) \in B$ par définition, on a $\mu(i(x)) = \mu(i|^B (x))$ pour tout $x \in X$. Comme $i|^B$ est à valeurs dans $B$ par définition, on a $\mu(i|^B (x)) = \mu |_B (i|^B (x))$ pour tout $x \in X$. Il reste à vérifier que $\mu |_B : B \longrightarrow \mathcal{A}$ est un morphisme d'anneaux unitaires, mais c'est évident. C'est donc un morphisme d'anneaux unitaires tel que $f = \mu |_B \circ i|^B$ pour toute application $f$, et il est unique car $\mu$ est unique. Donc $(B, i|^B )$ est bien un anneau libre sur $X$.
Donc il existe un isomorphisme d'anneaux unitaires $\varphi : A \longrightarrow B$ tel que $i|^B = \varphi \circ i$ (parce que l'anneau unitaire libre sur un ensemble est unique, à isomorphisme près).
$A$ et $B$ sont en bijection avec $B \subset A$ donc $A=B$. Donc $i = i|^B$. D'où $(B, i|^B) = (A,i)$.
(Remarque aux lecteurs : c'est le mauvais argument pour dire que $A=B$. Cependant, si on a montré que $A=B$, ça implique bel et bien que $i|^B = i$, donc que $(A,i) = (B, i|^B)$)
Conclusion : l'anneau unitaire libre $(A,i)$ sur $X$ est engendré par $i(X)$. -
Cela dit, quand tu disais "ensuite, la multiplication est définie de manière évidente", c'est quoi la manière évidente ?
J'essaie encore de trouver comment donner une description explicite de l'anneau unitaire libre à partir du groupe abélien libre, mais là tout de suite je n'y suis pas encore... -
Sinon, un truc qu'on avait laissé de côté depuis le début : montrer qu'un corps (commutatif, du moins... les autres, je n'y touche pas pour le moment) libre, ça n'a aucun sens.
Soit $X$ un ensemble, $C$ un corps et $i : X \longrightarrow C$ une application. On suppose que pour tout corps $K$, pour toute application $f : X \longrightarrow K$, il existe un unique morphisme de corps $\mu : C \longrightarrow K$ tel que $f = \mu \circ i$.
On sait que $i$ est forcément injective.
(Je ne sais plus si j'ai écrit pourquoi au cours de ce fil de discussion, mais : si on suppose $i$ non injective, en prenant $x \neq y$ tels que $i(x) = i(y)$, on trouve qu'on a forcément $f(x) = f(y)$ et ce pour toute application $f$... il suffit de choisir $f$ de sorte à obtenir une absurdité, ce qui est très simple puisqu'on peut prendre n'importe qui à l'arrivée pour $f$ quelle que soit la structure libre considérée)
On sait qu'un morphisme de corps est toujours injectif, donc par composition, $\mu \circ i$ est injective. Comme $\mu \circ i = f$, cela impose que $f$ est injective, et ce pour toute application $f$. Là encore, comme on peut choisir n'importe qui à l'arrivée pour $f$, il va être facile de trouver un exemple où $f$ ne sera pas injective.
Donc l'existence d'un corps commutatif libre sur $X$ est absurde. Je ne sais pas si l'on peut généraliser ça aux corps non commutatifs, mais à vrai dire ça ne m'intéresse pas pour le moment. -
Attention à "$A$ et $B$ sont en bijection avec $A\subset B$ donc $A=B$" qui est faux ! Tu dois conclure différemment.
Ce que je voulais dire c'est que par exemple $(x+y)(z+3x) = xz + yz + 3x^2 + 3xy$
Pour le corps libre, c'est une solution. Mais le mieux est de penser à la caractéristique. -
Pour le "corps libre", voir ici. Par eemple, le corps libre à $0$ générateur est l'espace annelé en corps sur la réunion de $\{0\}$ avec l'ensemble $\mathcal P$ des nombres premiers, pour la topologie qui en fait le compactifié d'Alexandrov de $\mathcal P$ avec la topologie discrète ; les fibres du faisceau structural, tout le monde peut les deviner. L'anneau des sections globales, c'est l'anneau von Neumann-régulier libre sur $\mathbb Z$.
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Max: effectivement, c'est très faux 8-) je verrai comment corriger ça !
Gabu : vu que tu parles de "fibres du faisceau structural", d'"espace annelé", de "l'anneau des sections globales" et de "l'anneau von Neumann-régulier" comme si c'était des trucs évidemment acquis, je ne pense pas que ça vaille la peine pour moi de cliquer le lien que tu as posté... :-S -
Ha, je note tout de même que tu ne tiques pas sur "espace annelé" :-D. Il y a de l'espoir.
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Je l'ai rajouté ;-)
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Correction de ce que je disais :
Il existe un isomorphisme d'anneaux unitaires $\psi : B \longrightarrow A$ tel que $i = \psi \circ i|^B$ (c'est l'inverse de ce que je disais avant, avant j'allais de $A$ dans $B$).
Parce que $(B, i|^B)$ est libre sur $X$, il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires $\mu : B \longrightarrow A$ tel que $i = \mu \circ i|^B$, d'où $\mu = \psi$.
Mais l'injection $\text{inj} : B \longrightarrow A$, $x \longmapsto x$ vérifie justement $i = \text{inj} \circ i|^B$, et c'est trivialement un morphisme d'anneaux unitaires, donc $\text{inj} = \mu = \psi$. En particulier, $\text{inj}$ est bijective. Donc $A = B$.
La fin c'est juste pour me convaincre :
On sait que $x \in B \Longrightarrow \text{inj}(x) = x \in A$. Comme $\text{inj}$ est surjective, on a : $\forall x \in A$, $\exists y \in B$, $x = \text{inj}(y) = y$ donc $\forall x : x \in A \Longleftrightarrow x \in B$. On a bien égalité des deux ensembles. -
Pour le corps libre : on va pouvoir ressortir l'argument qu'il devrait être de caractéristique nulle : il devrait exister un morphisme de corps du corps libre vers $\mathbb{Q}$, donc la caractéristique du corps libre devra être divisible par celle de $\mathbb{Q}$ qui est $0$, donc le corps libre devra être de caractéristique nulle (en particulier, c'est un ensemble infini)
Mais alors, il devrait exister un morphisme de corps du corps libre vers $\mathbb{F}_2$, et un morphisme de corps (commutatifs, du moins) est toujours injectif. Donc il existerait une injection d'un ensemble infini vers un ensemble à deux éléments, ce qui est absurde. Donc pas de corps libre. -
Petit intermède: à mon tour de m'amuser avec le truc de GBZM :-D
Je considère donc un anneau $A$ (qu'on peut penser comme l'anneau commutatif libre sur $X$, si on veut obtenir le "corps libre" sur $X$; par exemple si $X=\emptyset$, $A=\Z$); et je veux trouver le corps libre dans la catégorie des faisceaux sur $Spec(A)$ muni de la topologie constructible; en gros je cherche des espaces corpelés (annelés en corps (:P) ).
Dans le cas de $A=\Z$ je vois effectivement quelles sont les fibres, mais c'est uniquement que je le devine puisqu'il y a des $p$ et un $0$ qui traînent et que ça correspond aux corps que je connais.
Par analogie, j'ai envie de dire que la fibre au-dessus de $p\in Spec(A)$ devrait être $Frac(A/p)$ ? Admettons. Donner les fibres au-dessus de chaque point suffit à décrire un espace étale, puisqu'on n'a pas mille choix pour la topologie; et alors on a notre faisceau: je l'appelle $K$.
Après la question que je me pose par rapport à ce que GBZM propose, c'est est-ce que le corps libre qu'on cherche dans $Sh(Spec(A)) \simeq Etale(Spec(A))$ est un corps initial dans cette catégorie, ou un corps libre sur le faisceau constant $A$ ? Je pense que c'est plus la deuxième option (sinon la terminologie "corps libre" que GBZM utilise serait plus dure à justifier). Les faisceaux constants me sont plus faciles à comprendre en termes de fibres (mais c'est parce que j'ai peu d'expérience, j'imagine) qu'en termes de sections.
J'admets un instant (ça ne doit être qu'un calcul, enfin j'espère) que l'application évidente (d'espaces étales) $\underline{A} \to K$ est continue (où $\underline{A}$ désigne justement notre faisceau constant).
Soit donc $F$ un faisceau en corps sur $Spec(A)$, et $m: \underline{A}\to F$ un morphisme de faisceaux en anneaux. Si $p$ est premier, ça me donne au-dessus de $p$ un morphisme $m_p : A\to F_p$. Alors bon, à ce point-là de mon truc, la seule chose raisonnable est d'essayer de montrer que pour des raisons de compatibilité blabla, ce morphisme est nul exactement sur $p$: si on a bien ça, il se factorisera par $A/p$, puis $F_p$ étant un corps, et notre truc étant injectif par $Frac(A/p)$, et donc (à nouveau modulo un calcul de continuité) $m$ se factorisera par $K$.
Je réfléchirai aux trous que j'ai laissés (si quelqu'un repère une énorme bourde dans ce que je raconte, en gros si je pars dans la mauvaise direction, je veux bien qu'on me le dise) - ils sont nombreux en l'état -
La catégorie est la catégorie des espaces annelés en corps $(X,\mathcal K)$, ou plutôt sa duale. Un morphisme $(X,\mathcal K) \to (Y,\mathcal L)$ de cette catégorie est un couple $(f,\varphi)$ où $f:Y\to X$ est une application continue et $\varphi : f^*\mathcal K \to \mathcal L$ un morphisme de faisceau d'anneaux.
Cette catégorie contient la catégorie des corps (qu'on peut voir comme espaces annelés en corps sur un espace réduit à un point).
L'objet initial dans la catégorie est bien l'espace annelé en corps que j'ai décrit plus haut. -
J'ai donc corrigé mon erreur d'avant (voir ci-dessus). Je résume là ou j'en suis :
S'il existe un anneau unitaire $(A,i)$ libre sur $X$, on sait que c'est l'anneau unitaire engendré par $i(X)$ et qu'il est de caractéristique nulle. Une page de taf (sans les brouillons) juste pour ça :-D
Max : quand tu dis que c'est évident qu'on définit la multiplication comme ça... je suis d'accord, mais en même temps, ça ne m'avance à rien. Je m'explique.
Ce que je viens de dire, c'est en gros le résumé de notre analyse-synthèse : l'anneau unitaire libre doit être engendré par $i(X)$ et de caractéristique nulle. Cependant, on ne sait pas encore qui est $i$ (on n'a pas de formule) ni quel est l'ensemble $A$ qui va avoir la structure d'anneau unitaire libre sur $X$, en particulier on n'a même pas l'addition sur $A$. Si on avait l'addition sur $A$, il faudrait encore qu'on cherche à définir la bonne multiplication sur $A$ (sachant qu'elle doit être associative et distributive, certes), donc il y a beaucoup de choses qui ne m'ont pas l'air évidentes du tout dans cette histoire.
Je vais certes réfléchir à comment obtenir un anneau unitaire libre sur $X$ à partir d'un groupe abélien libre sur $???$ comme on en avait parlé vite-fait en MP, mais là comme ça... il va me falloir un moment.
D'ailleurs, rien à voir, mais je cite un truc que tu disais :
"Attention, ça [être libre sur un ensemble] ne marche pas pour les corps, parce qu'un corps ce n'est pas "algébrique" (dans la définition tu as une implication/un "il existe").
En fait on peut prouver qu'il n'existe jamais de corps libre : simplement en regardant sa caractéristique s'il existait
Par contre cette définition marche, et il y a toujours un truc libre sur tout ensemble lorsque "truc" est un truc algébrique, au sens où c'est une structure définie par des opérations d'arité fixée (bon en fait... - restons en aux arités fixées pour le moment) et par des équations."
Sous réserve que ce qu'ai bricolé juste avant avec la caractéristique pour montrer qu'un corps libre ne peut pas exister est correct, j'aimerais comprendre exactement ce que tu voulais dire avec "un corps n'est pas "algébrique"" par rapport au "il existe" de la définition de structure libre. -
@GBZM : Ah il faut autoriser les changements d'espace ! J'ètais à côté de la plaque... je vais y réfléchir
Homo Topi : tu ne sais pas $i$ mais tu sais qu'elle est injective, c'est largement suffisant !
Attention le "il existe" dont je parle n'est pas celui de la définition de machin libre, c'est celui de la définition de corps. La seule chose que je veux dire, c'est qu'on ne peut pas définir la notion de corps par un ensemble d'équations (alors qu'on peut par exemple définir la notion d'anneau, de groupes, de $A$-modules, d'algèbres de Boole,... avec un tel ensemble d'équations) et c'est ce qui distingue les corps des structures algébriques. J'exagère peut-être un peu en disant que les corps ne sont pas algébriques, mais par exemple en algèbre universelle, ça les met vraiment de côté. -
Je connais un truc qui s'appelle la présentation d'un groupe, on décrit un groupe par un ensemble de générateurs et par une liste de relations entre les générateurs... Je ne sais pas si on peut faire ça pour tous les groupes, ni si on peut faire ça pour les autres structures algébriques, mais au vu de que tu dis, ça pourrait devenir intéressant :-)
Par contre si c'est bien de ça que tu parles, j'ai du mal à concevoir pourquoi les corps y font exception.
Du coup, mes deux messages avant l'avant-dernier post de Maxtimax, c'est juste ce que je disais (sur l'inexistence de corps libre via la caractéristique, et la fin sur l'anneau libre est engendré par truc) ? Ou il y a encore des erreurs ? -
Je réponds déjà à la fin : oui oui c'était juste.
Maintenant pour le début, oui pour toute structure algébrique justement on a une notion de présentation, et toute algèbre a une présentation (plus ou moins finie - plutôt moins que plus) : tout ça marche parce qu'on a des quotients et des algèbres libres : deux choses qu'il manque complètement aux corps : ça leur manque précisément parce que leur définition n'est pas "algébrique", i.e. ne put pas se faire sous forme de "j'ai telles opérations qui satisfont telles équations". Si ça t'intéresse, le mots clé c'est "algèbre universelle"
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