$P$ et $\text{Mat}_{\mathcal B}$ commutent
Salut,
Soit $E$ un $\mathbf K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ et $P=\sum_{k=0}^N \alpha_k X^k\in\mathbf K[X]$. J'essaie de montrer que $$P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))$$
Voilà comment je suis parti :
Si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(f)=(m_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], f(e_j)=\sum_{i=1}^n m_{i,j}e_i$. Par contre, je ne sais pas comment exprimer $P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\sum_{k=0}^N\alpha_k (\text{Mat}_{\mathcal B}(f))^k$ autrement.
D'autre part, si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))=(b_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], P(f)(e_j)=\sum_{i=1}^n b_{i,j}e_i$.
Comment m'en sortir ?
Soit $E$ un $\mathbf K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ et $P=\sum_{k=0}^N \alpha_k X^k\in\mathbf K[X]$. J'essaie de montrer que $$P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))$$
Voilà comment je suis parti :
Si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(f)=(m_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], f(e_j)=\sum_{i=1}^n m_{i,j}e_i$. Par contre, je ne sais pas comment exprimer $P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\sum_{k=0}^N\alpha_k (\text{Mat}_{\mathcal B}(f))^k$ autrement.
D'autre part, si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))=(b_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], P(f)(e_j)=\sum_{i=1}^n b_{i,j}e_i$.
Comment m'en sortir ?
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Réponses
Peux-tu d'abord prouver que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}: \mathcal{L}(E)\to \mathcal{M}_n(\K)$ est un morphisme de $\K$-algèbres, i.e. c'est une application linéaire, qui conserve le produit ($f(ab)= f(a)f(b)$) et l'identité ($f(1)=1$, où ici $1$ est d'un côté $\mathrm{id}_E$, de l'autre $I_n$) ?
Soit $A$ un anneau (disons commutatif unitaire si ça t'aide), $B,C$ deux $A$-algèbres unitaires (elles, pas nécessairement commutatives), $f:B\to C$ un morphisme de $A$-algèbres, et $P\in A[X]$ un polynôme.
Montrer que pour tout $b\in B$, $P(f(b))= f(P(b))$
En notant $P=\sum_{k=0}^N\alpha_k X^k$, on a :
$P(f(b))=\sum_{k=0}^N\alpha_k f(b)^k$ par définition du morphisme d'évaluation
$=\sum_{k=0}^N\alpha_k f(b^k)$ car $f$ est un morphisme d'anneaux
$=f(\sum_{k=0}^N\alpha_k b^k)$ car $f$ est linéaire
$=f(P(b))$ par définition du morphisme d'évaluation