$P$ et $\text{Mat}_{\mathcal B}$ commutent

Salut,

Soit $E$ un $\mathbf K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ et $P=\sum_{k=0}^N \alpha_k X^k\in\mathbf K[X]$. J'essaie de montrer que $$P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))$$

Voilà comment je suis parti :
Si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(f)=(m_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], f(e_j)=\sum_{i=1}^n m_{i,j}e_i$. Par contre, je ne sais pas comment exprimer $P(\text{Mat}_{\mathcal B}(f))=\sum_{k=0}^N\alpha_k (\text{Mat}_{\mathcal B}(f))^k$ autrement.
D'autre part, si on note $\text{Mat}_{\mathcal B}(P(f))=(b_{i,j})$, cette dernière est définie par : $\forall j\in[\![1,n]\!], P(f)(e_j)=\sum_{i=1}^n b_{i,j}e_i$.

Comment m'en sortir ?