Polynôme en trois indéterminées et racines

celine_L · August 2018

Bonjour,
dans un exercice j'ai un polynôme $P$ en trois indéterminées $a$, $b$ et $c$ et qui vérifie :
$P(a,a,c)=P(a,b,b)=P(c,b,c)=0$
$P(0,b,c)=P(a,0,c)=P(a,b,0)=0$
et l'auteur en déduit que $abc(b-a)(c-a)(c-b)$ divise $P$.
Je n'arrive pas à le justifier.

MrJ · August 2018

Sais-tu prouver que ton polynôme est divisible par $a$?

YvesM · August 2018

Bonjour,

J’écris $P(a,b,c)= \sum_{p q r} u_{p q r} a^p b^q c^r$, puis $P(a,b,c)=P(a,b,c)-P(a,a,c)$ et alors on met en facteur $b^q-a^q$ et dans la somme : pour $q=0$, on a $0$ puisque $P(a,0,c)=0$ implique $u_{p0r}=0$, et pour $q\geq 1$, on peut mettre $b-a$ en facteur. Donc $(b-a)$ divise $P(a,b,c).$

Si tu confirmes ça, tu peux continuer.

celine_L · August 2018

MrJ écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1699694,1699732#msg-1699732
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Si on note $P(a,b,c)=\sum_{pqr}u_{pqr}a^pb^qc^r$, de $P(0,b,c)=0$ on tire que $u_{0qr}=0$ et donc $a$ divise $P$.

Sur le même principe :
de $P(a,a,b)=0$ on peut mettre $b^q-a^q$ en facteur, et comme précédemment de $P(a,0,c)=0$ on tire $u_{p0r}=0$ donc $q\geqslant1$ et l'on peut alors mettre $b-a$ en facteur.

Polynôme en trois indéterminées et racines

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