Bonjour, j'ai du mal à saisir la notion de polynômes symétriques élémentaires, surtout que j'ai croisé une définition ailleurs qui parlait de permutations, voilà la définition que j'ai dans mon cours. Un exemple simple serai le bienvenue! Merci.
Oui, c'est vrai. J'essaie de comprendre cette notion pour l'appliquer dans cette relation mais je ne sais pas d'où cette décomposition vient ni comment identifier les monômes du même degré?
Là il faut faire simple, par exemple pour un polynôme de degré 4, puisque l'on a déjà pris cela comme exemple.
$\alpha(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)= \alpha(...)$ à toi de compléter les pointillés.
Quant à l'identification : que dire de deux polynômes égaux ?
PS : ce ne sait pas d'où viennent les extraits de livre mais en découpant le savoir comme cela, c'est bien difficile de suivre. De plus étant donné les questions que tu poses, il est clair que c'est un peu (trop ?) abstrait comme première approche.
Réponses
$\sigma _{2} = \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}
+\alpha _{2}\alpha _{4}+\alpha _{3}\alpha _{4}$
$\sigma _{3} = \alpha _{1} \alpha _{2} \alpha _{3}+ \alpha _{2} \alpha _{3} \alpha _{4}$
$\sigma _{4} = \alpha _{1} \alpha _{2} \alpha _{3}\alpha _{4}$
Juste?
$\alpha(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)= \alpha(...)$ à toi de compléter les pointillés.
Quant à l'identification : que dire de deux polynômes égaux ?
PS : ce ne sait pas d'où viennent les extraits de livre mais en découpant le savoir comme cela, c'est bien difficile de suivre. De plus étant donné les questions que tu poses, il est clair que c'est un peu (trop ?) abstrait comme première approche.
Une chose dont il peut être utile de se souvenir : le $k$-ème polynôme symétrique des $\alpha_i$ est la somme des produits $k$ à $k$ des $\alpha_i$.