Sous-groupe de $\mathfrak S_p$
Bonsoir à tous
J'ai pris un gros mal de tête sur cet exercice.
Dans le corrigé, il y a plusieurs transitions que je ne comprends pas; mais dans un premier temps ces deux là me bloquent dès le départ.
- l'argument que les $H, \ \gamma .H,\ \gamma ^{2}.H,\ldots$ sont forcément disjoints sinon on aurait $Card(S_p) \geq p.Card(H)$
- l'argument que si deux de ces sous-ensembles ne sont pas disjoints alors $\gamma ^{j-i} \in H$ (censé se déduire facilement, mais pas chez moi lol)
Si vous aviez dans un premier temps quelques détails me permettant de mieux comprendre ...
Merci par avance.
J'ai pris un gros mal de tête sur cet exercice.
Dans le corrigé, il y a plusieurs transitions que je ne comprends pas; mais dans un premier temps ces deux là me bloquent dès le départ.
- l'argument que les $H, \ \gamma .H,\ \gamma ^{2}.H,\ldots$ sont forcément disjoints sinon on aurait $Card(S_p) \geq p.Card(H)$
- l'argument que si deux de ces sous-ensembles ne sont pas disjoints alors $\gamma ^{j-i} \in H$ (censé se déduire facilement, mais pas chez moi lol)
Si vous aviez dans un premier temps quelques détails me permettant de mieux comprendre ...
Merci par avance.
Réponses
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Eh bien si les $\gamma^iH$ sont deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux, qui sont tous $card(H)$: il y en a $p$, donc ça ferait que leur union a un cardinal $\geq pCard(H)$. Mais leur union est incluse dans $S_p$...
Pour le deuxième point, si $x\in \gamma^iH\cap\gamma^jH$, alors il existe $h,h'\in H$ tels que $\gamma^ih = x = \gamma^jh'$ et donc en simplifiant, $\gamma^{i-j} = h'h^{-1}$ -
Maxtimax écrivait:
> Eh bien si les $\gamma^iH$ sont deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux, qui sont tous $card(H)$: il y en a $p$, donc ça ferait que leur union a un cardinal $\geq pCard(H)$. Mais leur union est incluse dans $S_p$...
Que je comprenne bien : le cardinal de $S_p$ est bien $p!$ non ? Quel est le problème exact que cela pose alors ? -
Quel est l'indice de $H$ dans $S_p$ ?
-
Par donnée de l'énoncé :
$[S_p:H] \leq p-1$ donc $Card(S_p) \leq (p-1).Card(H)$
Or $Card(S_p)=p!$ mais comme on ne connaît pas $Card(H)$, comment on conclu? -
Mais... tu viens de me dire $Card(S_p)\leq (p-1) Card(H)$ et ton texte te dit "$Card(S_p)\geq p Card(H)$, donc absurde" :-S
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Oui, je viens de comprendre le "chaînons manquant" dans mon raisonnement : si $S_p$ contient des parties disjointes qui lui sont incluses alors son cardinal est forcément supérieur ou égal à la somme des cardinaux de ces parties, c'est à dire à $p.card(H)$, vu que cela est contradictoire avec l'inégalité amenée par l'hypothèse sur l'indice, alors il existe au moins deux parties qui ne sont pas disjointes...
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