Sous-groupe de $\mathfrak S_p$
Bonsoir à tous
J'ai pris un gros mal de tête sur cet exercice.
Dans le corrigé, il y a plusieurs transitions que je ne comprends pas; mais dans un premier temps ces deux là me bloquent dès le départ.
- l'argument que les $H, \ \gamma .H,\ \gamma ^{2}.H,\ldots$ sont forcément disjoints sinon on aurait $Card(S_p) \geq p.Card(H)$
- l'argument que si deux de ces sous-ensembles ne sont pas disjoints alors $\gamma ^{j-i} \in H$ (censé se déduire facilement, mais pas chez moi lol)
Si vous aviez dans un premier temps quelques détails me permettant de mieux comprendre ...
Merci par avance.
J'ai pris un gros mal de tête sur cet exercice.
Dans le corrigé, il y a plusieurs transitions que je ne comprends pas; mais dans un premier temps ces deux là me bloquent dès le départ.
- l'argument que les $H, \ \gamma .H,\ \gamma ^{2}.H,\ldots$ sont forcément disjoints sinon on aurait $Card(S_p) \geq p.Card(H)$
- l'argument que si deux de ces sous-ensembles ne sont pas disjoints alors $\gamma ^{j-i} \in H$ (censé se déduire facilement, mais pas chez moi lol)
Si vous aviez dans un premier temps quelques détails me permettant de mieux comprendre ...
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Réponses
Pour le deuxième point, si $x\in \gamma^iH\cap\gamma^jH$, alors il existe $h,h'\in H$ tels que $\gamma^ih = x = \gamma^jh'$ et donc en simplifiant, $\gamma^{i-j} = h'h^{-1}$
> Eh bien si les $\gamma^iH$ sont deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux, qui sont tous $card(H)$: il y en a $p$, donc ça ferait que leur union a un cardinal $\geq pCard(H)$. Mais leur union est incluse dans $S_p$...
Que je comprenne bien : le cardinal de $S_p$ est bien $p!$ non ? Quel est le problème exact que cela pose alors ?
$[S_p:H] \leq p-1$ donc $Card(S_p) \leq (p-1).Card(H)$
Or $Card(S_p)=p!$ mais comme on ne connaît pas $Card(H)$, comment on conclu?