Action de $\Z$ dans $X$ = permutation
dans Algèbre
Bonjour.
Tout est dans le titre, je suis sur l'exercice suivant.
Soit $X$ un ensemble. Montrer qu'il revient au même de se donner une action du groupe $(\Z,+)$ dans $X$ ou une permutation de $X$.
Je ne comprends pas ce que je dois montrer, que pour tout $n\in \Z$ il existe $s_n \in \mathfrak{S}(X)$ tel que $n.x=s_n(x)$ ? Parce que pour moi ça ne revient pas au même de se donner une permutation de $X$.
Merci de votre aide.
Tout est dans le titre, je suis sur l'exercice suivant.
Soit $X$ un ensemble. Montrer qu'il revient au même de se donner une action du groupe $(\Z,+)$ dans $X$ ou une permutation de $X$.
Je ne comprends pas ce que je dois montrer, que pour tout $n\in \Z$ il existe $s_n \in \mathfrak{S}(X)$ tel que $n.x=s_n(x)$ ? Parce que pour moi ça ne revient pas au même de se donner une permutation de $X$.
Merci de votre aide.
Réponses
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Peux-tu relier $s_{n+1}$ et $s_n$ ?
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Déjà, comme on a une action, $s_1=I_X$, où $I_X$ désigne l'identité sur $X$. Mais alors, par la caractérisation par les morphismes des actions de groupes, $n\mapsto s_n$ est un morphisme de groupe, donc par exemple $s_2 = s_{1+1} = s_{1} \circ s_{1} = I_X$, et on montre par récurrence que $s_n=I_X$ pour tout $n$ de $\N$, puis de $\Z$. J'ai l'impression de montrer que toute action d'un groupe monogène dans $X$ est triviale, je suis sûr de me planter mais je ne vois pas où. Certes je récupère une permutation, l'identité, mais si je pars d'une permutation non triviale je n'aurais pas une action avec ce raisonnement.
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Bon sang, c'est $0$ le neutre de $\Z$. Je raye tout et je recommence.
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Comme on s'est donné une action de groupe, $n \mapsto s_n$ est un homomorphisme, de sorte de $s_0 = I_X$, avec $I_X$ l'identité sur $X$. Vient ensuite $s_1$. On montre par récurrence que pour tout $n\in \N$, $s_n=s_1^n$, puis que c'est vrai pour tout $n$ de $\Z$. Notons $s_1=s$, alors pour tout couple $(n,x) \in \Z \times X$, $n.x = s^n(x)$.
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Oui très bien. Tu vois du coup ce qye veut dire l'énoncé ?
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Oui maintenant j'ai compris, et d'ailleurs réciproquement on construit l'action de groupe en posant $n.x=s^n(x)$, et ops on vérifie quand même que ça vérifie bien les deux axiomes.
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Exactement. En fait c'est un cas particulier du fait que pour un groupe $G$ (dont je note $U(G)$ l'ensemble sous-jacent), $\hom (\Z, G)\simeq U(G)$ via $f\mapsto f(1)$
(C'est fortement lié à la discussion dans le fil "Objets libres" de Homo Topi) -
Bon et une action de $\Z^2$ sur $X$ c'est équivalent à quoi ?
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Tu aimes donner du travail ModuloP! ;-) Je vais chercher ça.
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Ça revient à se donner deux permutations : on se donne une action de $\Z^2$ sur un ensemble $X$. C'est à dire un homomorphisme $\phi : \Z^2 \rightarrow X$. Posons $\phi((1,0)) = s_1$. Alors, par un raisonnement analogue au précédent, $\phi((n,0)) = s_1^n$. On montre de même en posant $\phi((0,1)) = s_2$ que $\phi((0,m)) = s_2^m$. Puis enfin, que pour tout $((n,m),x)\in \Z^2 \times X$, $(n,m).x=s_1^n \circ s_2^m (x)$.
Petit oubli : $s_1$ et $s_2$ commutent, en effet, pour tout $x \in X$, $s_1 \circ s_2 (x) = ((1,0)+(0,1)) .x = ((0,1)+(1,0)) .x = s_2 \circ s_1 (x)$, ce qui était nécéssaire à la conclusion. -
Je n'ai pas fait la réciproque mais c'est du même tonneau qu'à la question initiale.
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Et une action de $\Z/n\Z$ sur $X$ ?
Et une de $\text{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ sur $X$ ?
Bon j'arrête :-D -
Allez je tente pour $\Z / n\Z$ (:P)
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C'est la même chose que pour $\Z$, mais ça s'arrête. Pour la dernière j'ai la phobie des groupes linéaires. ::o
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Heu, ca veut dire quoi ça s'arrête ? Faut peut être un peu plus précis !
Beh c'est juste des matrices $2 \times 2$. T'as vraiment peur de cette petite matrice ???
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$$
Un truc :
quand tu as une action de $G$ sur $X$, tu as un morphisme $G \to \text{Perm}(X)$. Comme $\Z^2$ admet la présentation $\langle a, b \mid ab=ba \rangle$ ... un morphisme de $\Z^2 \to \text{Perm}(X)$ c'est la donnée de deux permutations associée à $a$ et $b$ et vérifiant la compatibilité $ab=ba$ c'est à dire qui commutent. Tu vois ce que je veux dire ?
$\Z = \langle a \rangle$ ... un morphisme $\Z \to \text{Perm}(X)$ c'est la donnée d'une permutation qui vérifie rien du tout puisqu'il n'y a pas de relation.
$\Z/n\Z = \langle a \mid a^n = e \rangle$ donc un morphisme de $\Z/n\Z \to \text{Perm}(X)$ c'est la donnée ......... et qui vérifie ........ -
Oui j'étais un peu évasif, je voulais dire que $s$ était d'ordre $n$. Par contre je ne comprends pas tes notations avec les crochets, jamais vu ça.
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Pas d'ordre $n$ mais vérifiant $s^n = e$, donc d'ordre divisant $n$. Tu as une action (triviale) de $\Z/5\Z$ vers l'ensemble $\{1\}$. Alors que tu n'as pas d'élément d'ordre $5$ dans le groupe $\mathfrak{S}_1$.
Ah pour les crochets, c'est pour les groupes qui sont décrits par générateur et relation, si tu ne connais pas, c'est pas dramatique, tu verras certainement un autre jour ! -
Effectivement merci.
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