Valeurs propres complexe matrice réelle

Tu veux certainement dire "complexe non réel".

Mettons-nous dans le cas $n=2$, autrement dit dans le plan.
Lorsque l'on a des valeurs propres complexes conjuguées non réelles, cela signifie qu'aucune droite (réelle) n'est fixée (c'est-à-dire renvoyée sur elle-même) par l'endomorphisme.
Un exemple de tels endomorphismes : les rotations (sauf l'identité et la symétrie centrale) qui ne fixent aucune droite.

C'est la première idée qui me vient, certainement naïve.

Une "traduction algébrique" : on ne peut pas diagonaliser une rotation dans $\mathbb R$.

Soit $x$ un vecteur propre associé à l'une des valeurs propres $\ell$, de module strictement supérieur à $1$.

Alors pour n'importe quelle norme : $||u(x)||=||\ell x||=|\ell|.||x||>||x||$.

Mais cela est-il vrai pour tout vecteur $x$ ?

Remarque :
les vecteurs propres sont-ils à composantes réelles ?

C'est ma remarque, non ? Laissée sous forme de question.

Aussi je donne la matrice suivante :
$\begin{pmatrix}
0 & -0,5 \\
8 & 0
\end{pmatrix}$

Ses valeurs propres sont $2i$ et $-2i$, de modules strictement supérieurs à $1$.
Mais le vecteur $\begin{pmatrix} 0\\1000 \end{pmatrix}$ a pour image $\begin{pmatrix} -500\\0 \end{pmatrix}$ par l'endomorphisme associé. Et les normes usuelles (par exemple) sont telles que le vecteur image a une norme plus petite que la norme du vecteur "initial".