Salut,j'ai trouvé ces deux figures dans mon cours d'espace vectoriel mais je ne sais pas leur donner des interprétations via ce qui est marqué dans les définitions correspondante,merci de m'aider.
J'imagine que la première image décrit l'ensemble des solutions d'une équation affine de la forme $u(x)=b$ où $b \in \mathbb R^n$ est fixé et $u$ est un endomorphisme de $\mathbb R^n$. Ces solutions sont toutes de la forme $x_0 + v$, avec $x_0$ une solution quelconque de l'équation, et $v$ dans le noyau de $u$. Le schéma de gauche représente cet ensemble de solution dans le cas où $n=2$ et le noyau de $u$ est de dimension $1$ (une droite). Le schéma de droite "montre" que, si $x=x_0+v$ comme précédemment alors $u(x)=u(x_0)$.
Pour la deuxième image, il s'agit, comme il écrit, de représenter la décomposition $\mathbb R^n = \ker(p-id) \oplus Im(p)$ dans le cas où $p$ est un projecteur de $\mathbb R^n$, et $\mathbb R^n = \ker(s-id) \oplus \ker(s+id)$ dans le cas où $s$ est un symétrie de $\mathbb R^n$ (avec $n=2$ et ces sous-espaces vectoriels de dimension $1$ pour des raisons de visualisation...). Dans le dessin de gauche, il s'agit de $x=(x-p(x)) + p(x)$ pour tout vecteur $x$, cette décomposition étant unique au sens où si on a $x=y+z$ avec $y \in \ker(p-id)$ et $z \in Im(p)$ alors $y=x-p(x)$ et $z=p(x)$. Dans le dessin de droite, $x=\frac{x+s(x)}{2} + \frac{x-s(x)}{2}$ pour tout vecteur $x$, la décomposition étant également unique.
Réponses
Pour la deuxième image, il s'agit, comme il écrit, de représenter la décomposition $\mathbb R^n = \ker(p-id) \oplus Im(p)$ dans le cas où $p$ est un projecteur de $\mathbb R^n$, et $\mathbb R^n = \ker(s-id) \oplus \ker(s+id)$ dans le cas où $s$ est un symétrie de $\mathbb R^n$ (avec $n=2$ et ces sous-espaces vectoriels de dimension $1$ pour des raisons de visualisation...). Dans le dessin de gauche, il s'agit de $x=(x-p(x)) + p(x)$ pour tout vecteur $x$, cette décomposition étant unique au sens où si on a $x=y+z$ avec $y \in \ker(p-id)$ et $z \in Im(p)$ alors $y=x-p(x)$ et $z=p(x)$. Dans le dessin de droite, $x=\frac{x+s(x)}{2} + \frac{x-s(x)}{2}$ pour tout vecteur $x$, la décomposition étant également unique.