Automorphismes de $\mathfrak S_n$
Bonjour
Après l'étude du groupe des automorphismes de Sn dans le Perrin, je bloque bêtement sur un argument d'action de groupe.
Le but est de démontrer le cas n=6 pour obtenir Aut(S6)/=Int(S6).
Un argument du Perrin est d'utiliser l'équivalence pour n/=4 :
Aut(Sn)=Int(Sn) si et seulement si les sous-groupes d'indice n de Sn sont tous conjugués (donc en particulier les stabilisateurs S(i) de l'action Sn sur X={1,2,...,n}).
Il nous suffit donc de déterminer un sous-groupe H d'indice 6 dans S6 non conjugué des S(i).
Je cite alors : "Pour ceci, il suffit de trouver un tel H qui opère transitivement sur X={1,2,...,6}."
Comme indiqué au début, je bloque bêtement sur ce dernier point.
Quelqu'un peut-il m'éclairer ?
Merci d'avance.
Doug
Après l'étude du groupe des automorphismes de Sn dans le Perrin, je bloque bêtement sur un argument d'action de groupe.
Le but est de démontrer le cas n=6 pour obtenir Aut(S6)/=Int(S6).
Un argument du Perrin est d'utiliser l'équivalence pour n/=4 :
Aut(Sn)=Int(Sn) si et seulement si les sous-groupes d'indice n de Sn sont tous conjugués (donc en particulier les stabilisateurs S(i) de l'action Sn sur X={1,2,...,n}).
Il nous suffit donc de déterminer un sous-groupe H d'indice 6 dans S6 non conjugué des S(i).
Je cite alors : "Pour ceci, il suffit de trouver un tel H qui opère transitivement sur X={1,2,...,6}."
Comme indiqué au début, je bloque bêtement sur ce dernier point.
Quelqu'un peut-il m'éclairer ?
Merci d'avance.
Doug
Réponses
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Si $S(i)$ est le stabilisateur de $i$, alors pour tout $g$, $gS(i)g^{-1} = S(gi)$ et donc les conjugués des $S(i)$ sont les $S(j)$.
Maintenant si $H$ opère transitivement sur $X$, alors il n'est clairement pas un $S(i)$ (parce qu'eux n'agissent pas transitivement sur $X$), donc il ne leur est pas conjugué: il suffit d'en trouver un d'indice $6$.
(dans ce que j'ai écrit, "agit machin sur $X$" je parle uniquement de la restriction de l'action canonique) -
Tout simplement...
Merci Maxtimax
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