Automorphismes de $\mathfrak S_n$

Bonjour
Après l'étude du groupe des automorphismes de Sn dans le Perrin, je bloque bêtement sur un argument d'action de groupe.

Le but est de démontrer le cas n=6 pour obtenir Aut(S6)/=Int(S6).
Un argument du Perrin est d'utiliser l'équivalence pour n/=4 :
Aut(Sn)=Int(Sn) si et seulement si les sous-groupes d'indice n de Sn sont tous conjugués (donc en particulier les stabilisateurs S(i) de l'action Sn sur X={1,2,...,n}).
Il nous suffit donc de déterminer un sous-groupe H d'indice 6 dans S6 non conjugué des S(i).
Je cite alors : "Pour ceci, il suffit de trouver un tel H qui opère transitivement sur X={1,2,...,6}."

Comme indiqué au début, je bloque bêtement sur ce dernier point.
Quelqu'un peut-il m'éclairer ?
Merci d'avance.

Doug