Algèbre sur un anneau
Ce truc commence à m'exaspérer. Je cherche des définitions précises et je ne les trouve nulle part. Help.
Définition de mon livre d'algèbre L3 :
Soit $(R, +_R , \times_R )$ un anneau unitaire non nécessairement commutatif, d'éléments neutres notés respectivement $0$ pour $+_R$ et $1$ pour $\times_R$.
On dit que $(A, + , \times, \cdot)$ est une $R$-algèbre (associative ?) si :
$1)$ $(A,+, \cdot)$ est un $R$-module (sous-entendu à gauche, ce qui définit une $R$-algèbre à gauche, je pense)
$2)$ $(A, +, \times)$ est "un anneau"
$3)$ $\forall (x,y) \in A^2$, $\forall \lambda \in R$ : $\lambda \cdot (x \times y) = (\lambda \cdot x) \times y = x \times (\lambda \cdot y)$
C'est le $1)$ qui nécessite que $R$ soit unitaire (un des axiomes pour un module, c'est $1 \cdot x = x)$. J'ai l'impression, en écrivant les axiomes détaillés des 3 conditions, qu'il n'y a besoin nulle part que $R$ soit commutatif. C'est juste ?
Par contre : la condition $2)$. Faut-il exiger que $(A, +, \times)$ possède un élément neutre multiplicatif pour que la définition soit cohérente ? Faut-il que $(A, +, \times)$ soit commutatif ? J'ai l'impression que la réponse est deux fois non, mais je préfère demander pour en être sûr.
Le problème, c'est qu'il n'y a pas de définition unique pour "anneau" (unitaire, pas unitaire, ça dépend des auteurs) donc je ne sais jamais qui parle de quoi, et ça m'énerve. Il y a aussi des algèbres associatives et des algèbres non associatives, et j'ai du mal à savoir laquelle est quoi parce que les auteurs mélangent aussi la terminologie pour ça. J'ai vu des définitions qui exigent de la multiplication $\times$ qu'elle soit bilinéaire, je crois que c'est ça qu'on exige pour avoir une "algèbre associative" mais je commence vraiment à être embrouillé par la terminologie. Comme je disais déjà... Help.
Définition de mon livre d'algèbre L3 :
Soit $(R, +_R , \times_R )$ un anneau unitaire non nécessairement commutatif, d'éléments neutres notés respectivement $0$ pour $+_R$ et $1$ pour $\times_R$.
On dit que $(A, + , \times, \cdot)$ est une $R$-algèbre (associative ?) si :
$1)$ $(A,+, \cdot)$ est un $R$-module (sous-entendu à gauche, ce qui définit une $R$-algèbre à gauche, je pense)
$2)$ $(A, +, \times)$ est "un anneau"
$3)$ $\forall (x,y) \in A^2$, $\forall \lambda \in R$ : $\lambda \cdot (x \times y) = (\lambda \cdot x) \times y = x \times (\lambda \cdot y)$
C'est le $1)$ qui nécessite que $R$ soit unitaire (un des axiomes pour un module, c'est $1 \cdot x = x)$. J'ai l'impression, en écrivant les axiomes détaillés des 3 conditions, qu'il n'y a besoin nulle part que $R$ soit commutatif. C'est juste ?
Par contre : la condition $2)$. Faut-il exiger que $(A, +, \times)$ possède un élément neutre multiplicatif pour que la définition soit cohérente ? Faut-il que $(A, +, \times)$ soit commutatif ? J'ai l'impression que la réponse est deux fois non, mais je préfère demander pour en être sûr.
Le problème, c'est qu'il n'y a pas de définition unique pour "anneau" (unitaire, pas unitaire, ça dépend des auteurs) donc je ne sais jamais qui parle de quoi, et ça m'énerve. Il y a aussi des algèbres associatives et des algèbres non associatives, et j'ai du mal à savoir laquelle est quoi parce que les auteurs mélangent aussi la terminologie pour ça. J'ai vu des définitions qui exigent de la multiplication $\times$ qu'elle soit bilinéaire, je crois que c'est ça qu'on exige pour avoir une "algèbre associative" mais je commence vraiment à être embrouillé par la terminologie. Comme je disais déjà... Help.
Réponses
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Je pense que d'exiger que $R$ et/ou $A$ soient unitaires est une question de convention. D'après Wikipédia (en), dans la définition de $R$-module:Authors who do not require rings to be unital omit condition 4 above in the definition of an R-module, and so would call the structures defined above "unital left R-modules". In this article, consistent with the glossary of ring theory, all rings and modules are assumed to be unital.
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Mais ça ne s'arrête jamais de devenir encore pire...
Et après on s'étonne que je préfère les groupes. -
Bah, peu importe quelle définition tu choisis, ce qui compte c'est que tu saches quelles propriétées sont supposées vérifier les objets que tu utilises.
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Ben, non, ce qui compte c'est que je sache de quel objet les autres parlent. Enfin je crois... c'est difficile d'apprendre quelque chose avec un livre si le livre ne dit pas précisement de quoi il est question, je trouve.
Les algèbres que j'ai rencontrées pour l'instant... Quand je dis "unitaire" ou "commutative", j'entends pour la multiplication interne.
1) $\mathcal{M}_n (K)$ : associative, unitaire, non commutative en général quand $K$ est un corps commutatif.
Si on prend des coefficients dans un anneau quelconque, ce que je n'ai pas fait très souvent, je ne sais pas trop ce qu'on perd.
2) $\mathbb{C}$ est une algèbre associative, commutative et unitaire sur $\mathbb{R}$
2') Tout corps fini est une algèbre associative, commutative et unitaire sur son sous-corps premier
3) $A[X]$ où $A$ est un anneau commutatif unitaire : associative, commutative et unitaire
Après j'ai peut-être vu 2-3 exemples plus théoriques que je n'ai plus vraiment en mémoire, mais toutes celles que j'ai "l'habitude" de manipuler ont une multiplication interne associative et unitaire. -
Les algèbres non associatives c'est pour pouvoir prendre en compte les algèbres de Lie par exemple.
Et comme dit Shah D'Ock, ce genre de définitions il y en a autant que d'auteurs (bon, j'exagère).
J'avais par exemple lu la définition suivante de $A$-algèbre : c'est un anneau $B$ avec un morphisme $i: A\to B$ dont l'image est incluse dans le centre de $B$.
La morale c'est : dès qu'un texte parle d'algèbres ou d'anneaux, courir vers ses définitions -
Oui ben les algèbres de Lie, c'est un truc auquel je me suis déjà intéressé. J'ai un joli petit bouquin qui parle de groupes et d'algèbres de Lie, et j'avais déjà lu toute la première partie sur les algèbres de Lie. Et justement, certains passages m'embrouillaient un peu parce que j'étais un peu dans le flou sur le "type" d'algèbre que j'étais en train de regarder.
Moralité, j'ai bien fait de demander de l'aide. -
Pour mon premier message sur ce forum, rappelons la définition officielle d'une $A$-algèbre, où $A$ est un anneau commutatif unitaire.
Une $A$-algèbre $\mathcal{A}$ est un $A$-module $\mathcal{A}$ muni d'une application $A$-bilinéaire $\mathcal{A}\times\mathcal{A}\to\mathcal{A}$. Point barre !
L'image de $(x,y)$ par cette application bilinéaire est notée $xy$, et appelé produit de $x$ et $y$. On dit que l'algèbre est unitaire/associative/commutative si la loi produit l'est.
Pour faire le lien avec les anneaux, remarquons la chose suivante.
Si $\mathcal{A}$ est une $A$-algèbre associative unitaire, sa loi produit fait de $\mathcal{A}$ un anneau unitaire, et $f:a\in A\mapsto a1_{\mathcal{A}}\in\mathcal{A}$ est un morphisme d'anneaux tels que $f(A)\subset Z(\mathcal{A})$.
Inversement, si $B$ est un anneau et $g:A\to B$ est un morphisme d'anneaux tel que $g(A)\subset Z(B)$, alors la loi externe $a*b=g(a)b$ munit $B$ d'une structure de $B$-module, et la loi produit de l'anneau $B$ est alors $A$-bilinéaire (cela utilise $A\subset Z(B)$). Autrement dit, on obtient une structure de $A$-algèbre sur $B$.
On démontre que les deux constructions sont inverses l'une de l'autre.
Conclusion. Se donner une $A$-algèbre associative unitaire, ou se donner un $g:A\to B$ est un morphisme d'anneaux tel que $g(A)\subset Z(B)$, c'est pareil. Mais cela ne fonctionne que pour les algèbres associatives unitaires.
Bref, la bonne définition, la plus générale, c'est la première.
Mel. -
"Bonne", "officielle" : je ne suis pas d'accord avec ces qualificatifs... en maths il y a rarement des définitions officielles. Il y en a des consensuelles, qui sont celles qui se rapprochent le plus d'officielles (comme "groupe", et encore...) , mais ici ce n'est même pas consensuel.
Là où tu as raison c'est que c'est la plus générale quand l'anneau de base est supposé commutatif et unitaire -
Je n'ai jamais eu vent de la notion d'algèbre sur un anneau non commutatif. Je suis curieux d'en connaître la définition. Un $A$-bimodule $M$ avec une application $\mu:M\times M\to M$ vérifiant
$\mu (ax,y)=\mu(x,ya)$ pour tous $x,y\in M$ et tout $a\in A$ ? (c'est la seule définition raisonnable qui me vienne à l'esprit) -
Quelque chose comme ça pourrait fonctionner; en tout cas si tu lis le post de départ, Homo Topi se pose la question (même si je suis d'accord que la notion d'algèbre apparaît, sinon tout le temps, la quasi-totalité du temps sur des anneaux commutatifs)
Voir cependant ici où une définition est proposée en prenant comme point de départ "une algèbre sur $A$ est un monoïde dans la catégorie des $A$-modules" (pour $A$ commutatif), et en le transposant au monde non commutatif (passage aux bimodules par exemple, pour avoir une catégorie monoïdale)
("Malheureusement" ça ne traite que des algèbres associatives, mais si tu prends comme définition "monoïde non associatif dans telle catégorie", c'est vite plié) -
Question aux connaisseurs :
Si on prend en compte la remarque de Kramer, il y a 3 types de modules, principalement.
1) Les modules unitaires sur un anneau unitaire : l'anneau possède un neutre multiplicatif $1$ et le produit externe du module vérifie $1 \cdot x = x$ pour tout $x$
2) les modules non unitaires sur un anneau unitaire : l'anneau possède un neutre multiplicatif $1$, mais l'axiome $1 \cdot x = x$ n'est pas vérifié pour tout $x$
3) les modules non unitaires sur un anneau non unitaire : l'anneau est non unitaire, donc l'axiome $1 \cdot x = x$ ne peut pas être vérifié du tout
Le type 1) est celui que je connais. En vrai ça m'arrangerait beaucoup de pouvoir ignorer les modules des types 2) et 3), non unitaires. Est-ce que quelqu'un connait des exemples de modules pour ces deux types ? Des exemples simples, ou théoriquement importants, ou des exemples rencontrés fréquemment dans une branche des maths qui m'est encore étrangère ? -
Bah 3) c'est pas compliqué: tu prends un groupe abélien, c'est un $2\Z$-module puisque c'est un $\Z$-module.
Pour 2) c'est pas beaucoup plus compliqué : tu fais agir $\Z$ sur $\Z^2$ par exemple en faisant $n\cdot (x,y) = (0,ny)$, c'est un $\Z$-module non unitaire (je te laisse généraliser à ton goût cet exemple).
Après, théoriquement importants ou rencontrés fréquemment je ne sais pas -
Bon, donc, il existe des modules non unitaires, mais au vu de ces exemples, pour mes besoins je vais me contenter des modules unitaires sur des anneaux unitaires pour l'instant... ça va déjà simplifier pas mal les choses.
(Parce que sinon il y aurait eu des algèbres unitaires-unitaires, non unitaires-unitaires, non unitaires-non unitaires... selon qu'on ait un module unitaire ou non, et selon si la multiplication interne est unitaire ou non) -
Donc :
Si on ne prend en compte que les modules définis sur un anneau unitaire :
Une $A$-algèbre "quelconque" c'est un $A$-module (avec l'axiome $1 \cdot x = x$), avec une loi $\times$ qui est bilinéaire. La bilinéarité assure la distributivité sur l'addition du module, et la compatibilité avec la multiplication externe du module.
Une $A$-algèbre associative c'est quand on exige de plus que $\times$ soit associative. Dans ce cas, l'addition et la multiplication interne associative donnent un anneau non unitaire.
Une $A$-algèbre associative unitaire c'est donc un truc qui est à la fois un module, et un anneau unitaire. Donc quand je lirai "algèbre" dans mes bouquins, c'est de ça qu'il est question.
C'est bon à savoir. En tout cas merci à tous (:D -
Prends garde que, comme l'a fait remarquer melpomène, ce que tu viens de dire marche pour $A$ commutatif, et qu'il faut faire attention (notamment pour "bilinéaire") lorsque $A$ ne l'est pas
-
@melpomène :
Je suis prêt à croire que les algèbres sur des anneaux qui ne sont pas des ACU, c'est rare, laid et peu utile. En général, quand je pose une question sur ce forum, c'est quelque chose comme "au secours, mes bouquins sont pleins d'imprécisions, je veux plus de détail" donc je me demandais tout ce qui pouvait être caché sous le mot "algèbre" (étant donné que chaque auteur y voit autre chose).
Quant à ce que tu disais sur les modules... a priori, on n'a pas besoin de la commutativité de $A$ pour définir la notion de $A$-module. Je n'ai pas beaucoup utilisé les modules, mais ils étaient presque toujours définis sur des ACU. -
Max : dans les cours que j'ai, le mot "bilinéaire" n'apparaît jamais, mais il y a des listes assez longues avec plein d'axiomes. J'avais la flemme, je voulais résumer :-D
Il faut que je remplace "$\times$ est bilinéaire" par quoi si l'anneau n'est pas commutatif ? -
Ce qu'on se disait avec melpomène c'est qu'il faudrait en fait avoir un bi-module, pour pouvoir définir $R\otimes R$ (si $R$ est ta "algèbre-to-be")
-
Un mot pour défendre les anneaux non commutatifs, au niveau de l'agrégation+ : ils sont très utiles pour la théorie des représentations des groupes finis.
-
Non, je n'ai pas d'exemple d'algèbre sur $k[G]$ en tête, mais je n'ai pas promis autant. Je voulais juste « défendre » les modules sur les anneaux non commutatifs.
Pour commencer, une représentation sur un corps $k$ d'un groupe fini $G$, c'est un module sur $k[G]$. L'étape suivante, avec des bimodules : pour $H$ sous-groupe de $G$, faire de $k[G]$ un $k[G]$-module à gauche et un $k[H]$-module à droite, cela permet de définir l'induction « efficacement » et « naturellement » (l'induit d'un $k[H]$-module $W$, c'est le $k[G]$-module $k[G]\otimes_{k[H]}W$). -
Ah ça, je suis d'accord; je me demandais juste si tu nous cachais des choses :-D
(à noter que ce que tu appelles l'induction, certain.e.s l'appellent co-induction; la définition dépend de chacun.e : mais les deux sont isomorphes pour les groupes finis; ça ne change que pour les groupes infinis - mais la preuve n'est pas triviale) -
Je viens seulement de voir que l'article Wikipédia Algèbre sur un anneau ne considère, lui aussi, que les anneaux commutatifs.
Je pense effectivement me contenter des algèbres (associatives ou non, du coup) sur les ACU pour le moment.
Mais au moins j'aurai vu pourquoi c'est tellement le bazar derrière ce mot "algèbre". En même temps avec 3 lois différentes, faut bien que ce soit un peu compliqué
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