Morphisme d'anneaux

paspris · August 2018

Bonjour,

Selon les ouvrages, il est rajouté dans les conditions pour avoir un morphisme d'anneaux que l'application "transporte" l'élément neutre de la multiplication. Je n'arrive pas à montrer que cette condition est forcément satisfaite si les deux conditions classiques sont déjà réunies. Pourriez-vous m'éclairer svp?

Merci

Math Coss · August 2018

C'est bien parce qu'on ne peut pas la déduire de la compatibilité de l'application avec la somme et le produit que cette condition est ajoutée à part.

Vois par exemple $f:\R\to\mathrm{Mat}_2(\R)$, $x\mapsto\begin{pmatrix}x&0\\0&0\end{pmatrix}$.

viko · August 2018

Bonjour,

Tu n'y arrives pas car c'est faux ! Le morphisme nul respecte l'addition et la multiplication mais il envoie $1$ sur $0$. En fait, on peut relaxer la définition de morphisme d'anneau et ne demander qu'un morphisme d'anneau ne respecte que l'addition et la multiplication, l'avantage de cette définition est qu'alors $Hom(A,B)$ est muni d'une structure de groupe.

Morphisme d'anneaux

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